第九讲 分式方程 中考数学考前回归专题复习 （知识回顾+考点例析+真题过关，详解）.doc

2013年中考数学专题复习第九讲：分式方程
【基础知识回顾】
一、 分式方程的概念
   分母中含有          的方程叫做分式方程
【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】
二、分式方程的解法：
 1、解分式方程的基本思路是          把分式方程转化为整式方程：即分式

方程整式          ﹥方程

2、解分式方程的一般步骤：
1、              2、             3、          
3、培根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为          的根称为方程的培根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为          的根是培根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略
            2、分式方程的培根与无解并非用一个概念，无解完包含产生培根这一情况，也包含原方 程去分母后的整式方程无解。如： - =1无解，有a的值培根】
三、分式方程的应用：
   解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须          完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】
【重点考点例析】
 考点一：分式方程的概念（解为正、负数）
例1  （2009•孝感）关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞-1    B．a＞-1且a≠0    C．a＜-1    D．a＜-1且a≠-2
思路分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．
解：去分母得，2x+a=x-1，
∴x=-1-a，
∵方程的解是正数，
∴-1-a＞0即a＜-1。
又因为x-1≠0，
∴a≠-2。
则a的取值范围是a＜-1且a≠-2
故选D．
点评：由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠-2，这是因为忽略了x-1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
例2  （2012•鸡西）若关于x的分式方程 无解，则m的值为（　　）
A．-1.5       B．1       C．-1.5或2      D．-0.5或-1.5
思路分析：去分母得出方程①2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），分为两种情况：①根据方程无解得出x=0或x=3，分别把x=0或x=3代入方程①，求出m；②求出当2m+1 =0时，方程也无解，即可得出答案．
解：方程两边都乘以x（x-3）得：（2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），
即（2m+1）x=-6，①
①∵当2m+1=0时，此方程无解，
∴此时m=-0.5，
②∵关于x的分式方程  无解，
∴x=0或x-3=0，
即x=0，x=3，
当x=0时，代入①得：（2m+0）×0-0×（0-3）=2（0-3），
解得：此方程无解；
当x=3时，代入①得：（2m+3）×3-3（3-3）=2（3-3），
解得：m=-1.5，
∴m的值是-0.5或-1.5，
故选D．
点评：本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x的值，题目比较好，需要考虑周全，不要漏解，难度也适中．

对应训练
1．（2010•牡丹江）已知关于x的分式方程 - =1的解为负数，那么字母a的取值范围是          ．
1．a＞0且a≠2
2．（2011•黑龙江）已知关于x的分式方程 - =0无解，则a的值为              ．
2．0、 、或-1

2．解：去分母得ax-2a+x+1=0．
∵关于x的分式方程 - =0无解，
（1）x（x+1）=0，
解得：x=-1，或x=0，
当x=-1时，ax-2a+x+1=0，即-a-2a-1+1=0，
解得a=0，
当x=0时，-2a+1=0，
解得a= ．
（2）方程ax-2a+x+1=0无解，
即（a+1）x=2a-1无解，
∴a+1=0，a=-1．
故答案为：0、 或-1．
点评：本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中．

 考点二：分式方程的解法
例3  （2012•上海）解方程： ．
思路分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解：方程的两边同乘（x+3）（x-3），得
x（x-3）+6=x+3，
整理，得x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，
故原方程的根为x=1．
点评：本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．
对应训练
3．（2012•苏州）解分式方程： ．
3．解：去分母得：3x+x+2=4，
解得：x= ，
经检验，x= 是原方程的解．

 考点三：分式方程的增根问题
例4 （2012•攀枝花）若分式方程：2+ = 有增根，则k=              ．
思路分析：把k当作已知数求出x= ，根据分式方程有增根得出x-2=0，2-x=0，求出x=2，得出方程 =2，求出k的值即可．
解：∵分式方程2+ = 有增根，
去分母得：2（x-2）+1-kx=-1，
整理得：（2-k）x=2，
当2-k≠0时，x= ；
当2-k=0是，此方程无解，即此题不符合要求；
∵分式方程2+ = 有增根，
∴x-2=0，2-x=0，
解得：x=2，
即 =2，
解得：k=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题目比较典型，是一道比较好的题目，增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母 确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
对应训练
4．（2012•佳木斯）已知关于x的分式方程 =1有增根，则a=               ．
4．1
4．解：方程两边都乘以（x+2）得，
a-1=x+2，
∵分式方程有增根，
∴x+2=0，
解得x=-2，
∴a-1=-2+2，
解得a=1．
故答案为：1．

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