锐角三角函数专题 中考数学考前回归专题复习 （知识回顾+考点例析+真题过关，详解）.doc

锐角三角函数杨老师专题讲座
锐角三角函数知识点总结与复习

1、勾股定理：直角三角形两直角边 、 的平方和等于斜边 的平方。 
如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，
则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

 定    义 表达式 取值范围 关    系
正弦     
(∠A为锐角) 
 
 
余弦     
(∠A为锐角) 
正切     
(∠A为锐角) 
 
 (倒数)
 

余切     
(∠A为锐角) 

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
                           
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
                        
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
  0       1
  1       0
  0   1   不存在
  不存在   1   0
    6、正弦、余弦的增减性：
       当0°≤ ≤90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°< <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
一、知识性专题
专题1：锐角三角函数的定义
       例1  在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是    (    )A．sin A＝     B．tan A＝   C．cosB＝   D．tan B＝ 
    分析  sinA＝ ＝ ，tan A＝ ＝ ，cos B＝ ＝ ．故选D.
    例2  在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ,则tan A等于    ；    分析  在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝ ．
分析  在Rt△ABC中，BC＝ ＝3，∴sin A＝ ．故填 ．
例3（12•哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是    ；
【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB= .
例4（2012内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为    ；  
【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝ ＝ ＝ ．
例5 ( 2012宁波)，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23 ,则BC的长为    ；
【解析】cosB=BCAB =23 ，又∵AB=6∴BC=4
例6（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角 的邻边与对边的比叫做角 的余切，记作ctan , 即ctan = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦=        ；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA
的值．
【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。（2）由tanA= ，为了计算方便，可以 设BC=3   AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．【解析】（1）设BC=1, ∵α=30◦
∴AB=2∴由勾股定理得：AC= ctan30◦= = (2) ∵tanA=
∴设BC=3    AC=4∴ctanA= =
例7（2012山东滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（　　）A．不变B．缩小为原来的 　C．扩大为原来的3倍D．不能确定
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．【答案】选A．
例8（2012湖南）观察下列等式
①sin30°=      cos60°= ②sin45°=    cos=45°= ③sin60°=     cos30°=
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=　　．
解析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．
答案：解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；
sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．
点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．
例9 (2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中 ， ，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有哪    组
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