高三数学复习：函数的值域与最值

知识要点

　　1.函数的值域

　　求函数的值域是一个较复杂的问题，不管用什么方法，都要考虑其定义域。

　　(1)当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中函数值的集合。

　　(2)当函数用图像给出时函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。

　　(3)当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

　　(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。

　　2.函数的最值：

　　求函数的值域与最值是紧密相连的，方法类似。事实上，如果在函数的值域中存在一个最(小)大数，这个数就是函数的最(小)大值。

　　3.求函数的值域常用方法：

　　直接法；换元法；判别式法；不等式法；函数的单调性法；函数的有界性法；数形结合法；导数法等等。

　　典型例题

　　一、直接法

　　例1.求下列函数的值域

　　(1)y=-

　　解： x∈{x∈R｜x≠--}

　　y=-=--+-

　　∵x≠--

　　∴2x+1≠0 ∴-≠0∴y≠--

　　y∈{y∈R｜y≠--}

　　说明：形如y=-的函数可通过“分离常数”后再逐层分析。

　　(2)y=-

　　解：x∈R,y=-=-1+-

　　∵x∈R∴2x>0∴1+2x>1∴0<-<1

　　∴0<-<2∴-1<-1+-<1

　　∴y∈(-1,1)

　　(3)y=4--

　　解：3+2x-x2 0

　　∴x∈[-1,3] y=4--

　　∵x∈[-1,3]∴-(x-1)2+4∈[0,4]

　　∴--∈[-2,0]

　　说明：一般的，一个函数可以由几个常见函数经过复合后得到。只要每一层的常见函数都可以求出值域，便可以运用“逐层分析”法求出函数的值域。

　　二、换元法

　　例2.求下列函数的值域

　　(1)y=2x+-

　　解：∵1-2x0 ∴x∈(-∞,-]

　　设t=-(t0) x=-

　　∴y=-t2+t+1=-(t--)2+-(t0)

　　∴y∈(-∞,-]

　　说明：对于形如y=ax+b+-的函数设t=cx+d且t0使之划归为二次函数的范围值域问题。

　　(2)y=x+-

　　解：∵1-x20∴x∈{x｜-1x1}

　　设x=sin,---

　　∴y=x+-=sin+cos=-sin(+-)

　　∵---∴--+--

　　∴--sin(+-)1

　　∴y∈[-1,-]

　　说明：对含有-的函数，可利用三角换元设x=asin，其中的范围只要能够使asin满足x的定义域即可。　三、判别式法

　　例3.求下面函数的值域

　　y=-

　　解：x∈R由y=-得yx2-3x+4y=0

　　当y=0时，x=0；

　　当y≠0时，由0

　　y∈[--,-]

　　说明：将函数转化为关于x的二次方程f(x，y)=0通过方程有实根，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法。在利用判别式法时要注意二次项系数是否为0。

　　四、不等式法、函数的单调性法

　　例4.求下列函数的值域

　　(1)y=-

　　解：x∈{x│x≠2}

　　设t=2x-4(t≠0),

　　x=-

　　y=-=-

　　=-t+-

　　利用均值不等式当t>0,y1；当t<0,y-1 ∴y ∈{y│y-1或y1}

　　(2)y=-

　　解：x∈R,y=-+-

　　设t=-(t2)

　　∵y=t+-(t2)为增函数，

　　∴y2+-=- y∈[-,+∞)

　　说明：一般的，形如二次式与一次式的比，一次式与二次式的比，二次式与二次式的比，多可以采用分离常数的方法，转化为y=t+-+c,a、c为常数，再利用不等式求出函数的值域，要注意验证等号的成立条件，如等号不能取得，应利用y=t+-的单调性求解。

　　五、数形结合

　　例5.求下列函数的值域

　　(1)y=-

　　解：x∈R，y=-可看作单位圆外一点P(-2,0)与圆x2+y2=1上的点的所连线段的斜率，

　　y∈[--,-]

　　(2)y=-+-

　　解：x∈R

　　y=-+-

　　可看作x轴上一动点P(x,0)与两个定点(-1,1),(1,1)所连线段的长度之和。

　　y∈{y│y2-}

　　说明：在运用数形结合求函数的值域时，应注意转化函数的几何意义。常见的数形结合有：单位圆，斜率，距离等。