八类函数型不等式恒成立问题的探究 高考专题辅导

函数型不等式的恒成立问题在近年的高考中频频“闪亮登场”，常以压轴题的身份出现，能有效地甄别考生的思维品质，成为高考的热点和难点.由于这类问题综合性强，难度大，能力要求高，很多同学望而生畏，无从下笔.本文通过一些典型例题探究在高考中常见的八种类型，仅供参考.

　　1.“a≥f(x)”型

　　形如“a≥f(x)”或“a≤f(x)”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“a≥f(x)在x∈D上恒成立，则a≥[f(x)]max(x∈D)；a≤f(x)在x∈D上恒成立，则a≤[f(x)]min(x∈D)”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.

　　例1 已知二次函数f(x)=ax2+x，若x∈[0,1]时，恒有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围.

　　解 ∵|f(x)|≤1，

　　∴-1≤ax2+x≤1，

　　即-1-x≤ax2≤1-x.

　　当x=0时，不等式-1≤a×0≤1显然成立，

　　∴a∈R.

　　当0＜x≤1时，由-1-x≤ax2≤1-x得

　　.

　　∵，，

　　∴a≤0.

　　又∵，

　　，

　　∴a≥-2. ∴-2≤a≤0.

　　综上得a的范围是a∈[-2,0].

　　2.“f(x1)≤f(x)≤f(x2)”型

　　例2 已知函数，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1-x2|的最小值为____.

　　解 ∵对任意x∈R，不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，

　　∴f(x1)，f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值.

　　对于函数y=sinx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.

　　又函数的周期为4，

　　∴|x1-x2|的最小值为2.

　　3.“”型

　　例3 (2005湖北)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cosx这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的个数是(　　)

　　A.0　　　　　　B.1　　　　　　C.2　　　　　　D.3

　　解 本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知y=log2x符合题意.

　　4.“＞0”型

　　例4 已知函数f(x)定义域为[-1,1]，f(1)=1，若m，n∈[-1,1]，m+n≠0时，都有，若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围.

　　解 任取-1≤x1＜x2≤1，

　　则.

　　由已知＞0，

　　又x1-x2＜0，

　　∴f(x1)-f(x2)＜0，

　　即f(x)在[-1,1]上为增函数.

　　∵f(1)=1，

　　∴x∈[-1,1]，恒有f(x)≤1.

　　∴要使f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，即要t2-2at+1≥1恒成立，

　　故t2-2at≥0恒成立.

　　令g(a)=t2-2at，只须g(-1)≥0且g(1)≥0，

　　解得t≤-2或t=0或t≥2.

　　评注 形如不等式“＞0”或“＜0”恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.

　　5.“f(x)＜g(x)”型

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