立体几何中轨迹问题的解题策略 高考专题辅导

《普通高中数学课程标准》提出“在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系”，高考大纲也提出了数学整体性和综合性的要求，于是立体几何与解析几何作为几何的两个分支，两者“联姻”而成的题型逐渐成为高考与各省市模拟中的“热点”.这类题型立意新，知识交叉渗透，学生常感到无从下手，本文将通过所求轨迹的种种类型来介绍如何找到这类问题的突破口，顺利解决问题.

　　一、轨迹为点型

　　例1 已知平面α∥平面β，直线，点P∈l，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P的距离为5且到直线l的距离为的点的轨迹是(　　).

　　A.一个圆　　　　B.两条平行直线　　　　C.四个点　　　　D.两个点

　　分析 设点P在平面β内的射影是O，则OP是α、β的公垂线，OP=4.在β内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O为圆心，3为半径的圆上.又在β内到直线l的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点.因此所求点的轨迹是四个点，故选C.

　　点评 把空间的距离问题转化为平面问题来解决.

　　二、轨迹为直线型

　　例2(2006年北京卷)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是(　　)

　　A.一条直线　　　B.一个圆　　　　　　　C.一个椭圆　　　D.双曲线的一支

　　分析 设l与l1是过点A且与AB垂直的任意的两条直线，则这两条直线确定了一个平面β，由题意可得AB⊥β，由于过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，因此平面β是唯一的.所以动点C都在平面α与β的交线上.故选A.

　　点评 本题利用公理2求解，熟练掌握立体几何中的公理、定理对于解决问题有很大的帮助.

　　三、轨迹为曲线型

　　(1)轨迹为椭圆

　　例3 在三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角A-CC1-B的大小为30°，动点M在平面ACC1A1上运动，且M到平面BCC1B1的距离d=MA，则点M的轨迹为(　　)

　　A.直线　　　　　B.抛物线　　　　　　　C.双曲线　　　　D.椭圆

　　分析 过M作MN垂直平面BB1C1C于点N，作MD垂直CC1于D，连MD，由三垂线定理可得

DN⊥CC1，所以∠MDN=30°，则MD=MN=MA，即，由圆锥曲线第二定义可知点M轨迹为椭圆.故选D.

　　点评 利用二面角为定值这一特点转化为椭圆定义.

　　(2)轨迹为抛物线型

　　例4 (2004年北京高考题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　)

　　A.直线　　　　　B.圆　　　　　　　　　C.双曲线　　　　D.抛物线

　　分析 由C1D1⊥平面BB1C1C，得PC1⊥C1D1，所以PC1就是点P到直线C1D1的距离，因此条件转化为点P到BC的距离等于点P到点C1的距离.根据抛物线的定义，点P的轨迹所在的曲线是抛物线.选D.

　　小结 以上两个例子均巧妙利用了题中某些定值定量条件，转化为定义法来判定动点轨迹.这其实也是解析几何中求轨迹问题常用的方法之一.

　　(3)轨迹为双曲线型

　　例5 已知，过点P引与直线e成45°角的直线交平面α于Q，则Q点轨迹是(　　).

　　A.两个点　　　　B.双曲线　　　　C.椭圆　　　　D.抛物线

　　分析 如图4，过P作PO⊥α于O点，以过O点与e平行的直线为y一，以OP为z轴建立空间直角坐标系，过Q作OA⊥x轴于A.设Q(x,y,0)，则A(x,0,0)，由于P点固定，不妨设P(0,0,h)，由题意OA=PA，所以y2=x2+h2，故选B.

　　点评 建立空间坐标系把立体几何与解析几何直接联系起来.

　　四、轨迹为空间图形

　　例6 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为(　　).

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