求数列前n项和的常用方法总结 高考复习专题

①-②得：(1-a)S_n = a + a² + a³ + … + aⁿ - naⁿ⁺¹③

若a = 1则：S_n = 1 + 2 + 3 + … + n =

若a ≠ 1则：

点拨：此数列的通项是naⁿ,系数数列是：1，2，3……n，是等差数列；含有字母a的数列是：a,a²,a³,……，aⁿ,是等比数列，符合错位相减法的数列特点，因此我们通过错位相减得到③式，这时考虑到题目没有给定a的范围，因此我们要根据a的取值情况分类讨论。我们注意到当a=1时数列变成等差数列，可以直接运用公式求值；当a≠1时，可以把③式的两边同时除以（1-a），即可得出结果。

五.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{a_n}满足a_n+1=a_n+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a_n+1-a_n=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a_n ，从而求出S_n。

例题5：已知数列6,9,14,21,30,……其中相邻两项之差成等差数列，求它的前n项和。

解：∵a₂ - a₁ = 3, a₃ - a₂ = 5, a₄ - a₃ = 7 ,…, a_n - a_n-1 = 2n-1

把各项相加得：a_n - a₁ = 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) =

∴a_n = n² - 1 + a₁ = n² + 5

∴S_n = 1² + 2² + … + n² + 5n =+ 5n

点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前n项和时应用到了1² + 2² + … + n²=因此问题就容易解决了。

六.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例题6：求S = 1² - 2² + 3² - 4² + … + (-1)^n-1n²(n∈N^*)

解：①当n是偶数时：S = (1² - 2²) + (3² - 4²) + … + [(n - 1)² - n²]

= - (1 + 2 + … + n) = -

②当n是奇数时：S = (1² - 2²) + (3² - 4²) + … + [(n - 2)² - (n - 1)²] + n²

= - [1 + 2 + … + (n - 1)] + n²

= -

综上所述：S = (-1)ⁿ⁺¹

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