三角函数·函数的周期性·教案

师：请同学们在课堂练习本上证明y=cosx的最小正周期是2π．

师：通过上面的例题和练习我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）都是周期函数，2πk（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．

例5  求y=3cosx的周期．

师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期

生：因为y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．

师：好．好在他能利用我们总结出的结论，也就是新知识归结到旧知识上去．你能再具体的证明吗？

生：可以从数和形两个角度来证明．

解（一）  因为对一切x∈R，3cos（x+2π）=3cosx，所以y=3cosx的周期是2π．

解（二）  因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x（x∈R）增加到x+2π且必须增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．

师：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述清楚，若把此题推广，能得到什么结论？

生：y=Asinx，y=Acosx（A≠0，是常数）的周期都是2π，也就是说函数周期的变化与系数A无关．

例6  求y=sin2x的周期．

（请不同解法的三位同学在黑板上板演）

生甲：

解  因为y=sin（2x＋2π）=sin2x，对于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．

生乙：

解  因为y＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π）＝sin2x，所以y＝sin2x的周期是π．

生丁：

解  设2x＝u，因为y＝sinu的周期是2π，所以

y＝sin（u＋2π）=sinu，

所以y=sin2x的周期是π．

师：我们一起来分析三个同学的解法．解法一是错误的，错误在对于周期函数定义中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin（2x+T）．解法（二），（三）是正确的．区别在于解法（三）经过换元，把要研究的新问题y＝sin2x的周期转化为已有的旧知识y＝sinu的周期．这种转换的意识、换元的思想是很重要的．

师：其实这个问题也可以从图象的变换来考虑．我们先看如何由y＝sinx的图象得到y＝sin2x的图象．使y=sinx的图象上的每点的纵坐标

当自变量每增加2π且必须增加2π时，函数值重复出现，现在就是当

sin2x的周期是π．

师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？是x的系数．有怎样的影响？带着这个问题同学们做下面的题目．

例7

y＝2sin（u＋2π）=2sinu，

师：通过这个例题，进一步验证了我们的猜想，函数的周期的变化仅与自变量x的系数有关．我们把例7写成一般式．

例8  求y=Asin（ωx+ ）的周期．（其中A，ω， 为常数，且A≠0，ω＞0，x∈R）

解  设u＝ωx＋ ．因为y＝sinu的周期是2π，所以

sin（u＋2π）=sinu，

师：这样就证明了我们的猜想，不但函数的周期仅与自变量的系数

（老师板书）

师：以后再求正弦函数或余弦函数的周期，可由上面的结论直接写出它的周期．

师：（总结）通过今天的课，同学们应明确以下几个问题．

（一）研究函数周期的意义是什么？

周期函数是反映现实世界中具有周期现象的数学模型．如果能找到函数的最小正周期T，那么只要在以T为氏度的区间内．就可以研究函数的图象与性质，然后推断出函数在整个定义域的图象和性质．这给我们研究函数带来了方便．

（二）对于函数周期的定义应注意：

1．f（x＋T）=f（x）是反映周期函数本质属性的条件．对于任意常数T（T≠0），如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立，我们就断言y=f（x）不是周期函数．对于某个确定的常救T≠0．如果在函数定义域中至少能找到一个x，使f（x＋T）＝f（x）不成立．我们能断言T不是函数y=f（x）的周期，但不能说明y＝f（x）不是周期函数．

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