三角函数最值的五种求解方法

  核心提示：三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

一.使用配方法求解三角函数的最值

例1．已知函数的最大值为1，求的值

解：

结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。

二.使用化一法求解三角函数的最值

例2．求函数的值域。

分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。

解：

结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。

三.使用基本不等式法求解三角函数的最值

例3.求函数的值域

解：

四.使用数形结合法求解三角函数的最值

例4．求函数的值域

解：

五.使用换元法求解三角函数的最值

例5．求函数的最值。

分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。

解：