第二十七讲 相似图形 中考数学考前回归专题复习 （知识回顾+考点例析+真题过关，详解）.doc

2013年中考数学专题复习第二十七讲 相似图形

【基础知识回顾】
成比例线段：
 1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们      的比，即： =     
 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果 =      那么四条线段叫做同比例线段，简称     
 3、比例的基本性质： = <＝>     
 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线
【名师提醒：1、表示两条线段的比时，必须示用相同的      ，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的无关 即比值没有
2、全分割：点C把线段AB分成两条，线段AC和BC（AC>BC）如果      那么称线段AB被点C全分割AC与AB的比叫全比，即L =     ≈       】
二、相似三角形：
 1、定义：如果两个三角形的各角对应      各边对应      那么这两个三角形相似
 2、性质：⑴相似三角形的对应角      对应边     
⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应      的比都等于     
⑶相似三角形周长的比等于      面积的比等于     
判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似
      ⑵两边对应      且夹角      的两三角形相似
      ⑶两角      的两三角形相似
      ⑷三组对应边的比      的两三角形相似
【名师提醒：1、全等是相似比为      的特殊相似
2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证      判定方法中最常用的是      三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】
 三、相似多边形：
 1、定义：各角对应      各边对应      的两个多边形叫做相似多边形
 2、性质：⑴相似多边形对应角      对应边     
⑵相似多边形周长的比等于      面积的比等于     
【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】
位似：
 1、定义：如果两个图形不仅是      而且每组对应点所在直线都经过      那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做      这时相似比又称为     
2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于     
【名师提醒：1、位似图形一定是      图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或     
2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于       或      】
【典型例题解析】
考点一：比例线段
例1  （2012•福州） 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是         ，cosA的值是           ．（结果保留根号）
 
考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；
过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．
解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB= =72°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°．
∴∠A=∠DBC=36°，
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC，
∴ = ，
设AD=x，则BD=BC=x．则 ，
解得：x= （舍去）或 ．
故x= ．
如右图，过点D作DE⊥AB于点E，
 

∵AD=BD，
∴E为AB中点，即AE= AB= ．
在Rt△AED中，cosA= = ．
故答案是： ； ．
点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．
对应训练
2．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　）
A．     B．    C．     D．

 
考点：黄金分割．
分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长．
解答：解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，
∴△ABC∽△BDC，
 且AD=BD=BC．
设BD=x，则BC=x，CD=2-x．
由于 ，
∴ ．
整理得：x2+2x-4=0，
解方程得：x=-1± ，
∵x为正数，
∴x=-1+ ．
故选C．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长．

 考点二：相似三角形的性质及其应用
例2  （2012•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为              ．
考点：相似三角形的性质．
专题：探究型．
分析：先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴三角形的相似比是3：1，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1．
故答案为：9：1．
点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
对应训练
2．（2012•沈阳）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为      ．
考点：相似三角形的性质．
专题：应用题．
分析：根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解．
解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴△ABC的周长：△A′B′C′的周长=3：4，
∵△ABC的周长为6，
∴△A′B′C′的周长=6× =8．
故答案为：8．
点评：本题主要考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

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