函数的概念 高考专题辅导

减小字体 增大字体 作者:本站收集整理  来源:本站收集整理  发布时间:2010-10-30 09:47:53

一.知识网络
          
  二.高考考点
  1.映射中的象与原象的概念;
  2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;
  3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;
  4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.

  三.知识要点
  (一)函数的定义
  1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).

  2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

  3、认知:
  ①注意到现代定义中“A、B是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.

  ②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.

  (二).映射的概念
  将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.
  1、定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f:A→B

  2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f:A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f:a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.

  3、认知:
  映射定义的精髓在于“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余;不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.

  集合A到集合B的映射 f:A→B是一个整体,具有方向性; f:A→B 与 f:B→A 一般情况下是不同的映射.

  (三)、函数的表示法
  表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.
  1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.

  2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.

  3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.

  图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.

  认知:函数符号的意义
  在函数的概念中,我们用符号“y=f(x)”表示“y是x的函数”这句话.

  其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则“f”表示解析式蕴含的对自变量x施加的“一套运算的法则”,即一套运算的框架.
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