高考中立体几何题的求解策略 高考专题辅导

策略一、让图形特殊化

　　例1 (2006年辽宁卷(理)16)若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则co sα=_________.

　　分析 此题若随意画出一个正四棱柱，则题中直线的位置比较难确定，注意到角α的大小与正四棱柱的高并没有关系，因此不妨让正四棱柱特殊一点，成为正方体，易知正方体的体对角线与所有面成角相等，因此体对角线就是我们要寻找的直线.

　　解 不妨设正四棱柱为正方体，当直线与正方体的所有面成角相等时，即为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，正方体的体对角线满足条件.设正方体边长为1，则.

　　点评 特殊化思想是本题的突破口，这种思想不单只局限于立体几何中，在整个高中数学的各个分支中都有广泛的应用，尤其在解答客观题时，效果独特.

　　策略二、让图形降维数

　　例2 (2006年江苏卷(理)9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放在棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有(　　).

　　A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.无穷多个

　　分析 当把两个正四棱锥按题设要求放入正方体后，上下两个顶点是固定不动的，可能会变化的是底面上的四个顶点A、B、C、D，设P、Q、R、T是正方体四条平行棱的中点，如图，A、B、C、D分别在四边形PQRT的各条边上.因此这个立体问题的核心降维成平面问题，原题就变得简单多了.

　　解 原题可转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然会有无穷多个，因此选D.

　　策略三、让图形动静结合

　　例3 (2006年浙江卷(理)14)如图2，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是_________.

　　分析 只要让正四面体绕着AB旋转一周，就可以得到要求射影面积的范围，事实上，根据对称性，我们只需要转90°即可.

　　解 根据对称性，我们不妨从CD平行平面α开始，让正四面体绕着AB旋转90°，将会经历如下四个关键位置：

　　(1)当CD平行平面α时，射影为菱形，其面积为；

　　(2)当平面ABC与平面α垂直时，射影为三角形，面积为；

　　(3)当平面ABD∥平面α时，射影为三角形，面积为；

　　(4)当CD垂直平面α时，射影为三角形，面积为.

　　因为射影的变化是连续的过程，所以射影面积经历了先变小，后变大，最后又变小的过程，因此所求范围为[].

　　点评 1.对称思想无论在平面几何还是立体几何中都有其用武之地，在本题中这种思想帮助我们减少了思维的长度，大大加速了解题的进程.

　　2.动和静是可以根据需要随时转化的，我们既可以让一个静态的图形动起来，也可以对运动中的图形实施静态的特写，只有关键之处看清楚了，才能有效把握整体的变化趋势.

　　策略四、让图形“苗条”起来

　　例4 (2006年陕西卷(理)15)水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球上面放一个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是____.

　　分析 若将原题的五个球都画出来，既麻烦又不容易看清问题的本质，因此我们不妨给题目瘦瘦身，让它“苗条”起来.

　　解 我们用A，B，C，D代表4个半径为2R的球的球心，用O代表半径为R的小球的球心，如图3所示，显然OA=OB=OC=OD=3R，AB=BC=CD=DA=4R，易得正四棱锥O-ABCD的高为R，因此小球球心O到桌面α的距离为3R.

　　点评 立体几何中很多题目都是被“包装”过的，包装的东西太多，往往会让我们看不清楚题目的本质，因此我们很有必要利用简化思想将无关紧要的包装去掉，从而凸显出最本质的东西.

　　策略五、让图形“丰满”起来

　　例5 (2008年浙江卷(理)10)如图4，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是(　　).

　　A.圆　　　　B.椭圆　　　　C.一条直线　　　　D.两条平行直线

　　分析 此题中AB的长度是固定的，同时△ABP的面积也为定值，因此AB边上的高h也应该是定值.即P点到直线AB的距离为定值h.因此点P可以在以AB为轴，h为半径的圆柱的侧面上随意运动.我们不妨将此圆柱画出来，则题目就“丰满”多了.

　　解 由题知点P到AB的距离是固定的，不妨设为h.则我们可以构造一个以AB为轴，h为半径的圆柱，则P是此圆柱侧面上的一点，又因为点P在平面α内运动，故点P的轨迹可看成以AB为轴的圆柱被平面α所截得的图形，显然此图形为椭圆.

　　点评 构造思想在立体几何中往往会发挥很大作用，有些立体几何题表述得比较抽象，这就需要我们构造一个模型，让它变得“丰满”一点，如在本题中我们就构造了一个圆柱，这样的构造看似将题目复杂化了，其实是以退为进，反而让我们寻找到了解题的突破口.当然，构造也不能乱造，要有的放矢，即根据题目的特征适时地、合理地构造.