谈高考试题中的“构图”解题策略 高考专题辅导

众所周知，高考试题的关注度并非平常试题可比，因此，在高考试题中，一些亮点的出现会令人津津乐道. 而数与形是数学中的主要研究对象，笔者经过研究发现，在最近几年的高考中，出现了一些“构图”问题，即考生可以利用题目信息去画出或构造出相应图形去解决相关考题，从而达到事半功倍之效.下文将以2009年的高考试题为例对此进行阐述.

　　例1 (2009年海南理科卷)用min{a,b,c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(　　).

　　A.4　　　　　　B.5　　　　　　C.6　　　　　　D.7

　　分析 画出y=2x，y=x+2，y=10-x的图像，如图1，观察图像可知，当0≤x≤2时，f(x)=2x；当2＜x≤4时，f(x)=x+2；当x＞4时，f(x)=10-x，f(x)的最大值在x=4时取得，故选(C).

　　评注 此题用图解法求解显得言简意赅、清晰明了，显示出构图策略在解决相关问题上的高效率，值得回味.

　　例2 (2009年重庆理科卷)已知以T=4为周期的函数其中m＞0.若方程3f(x)=x恒有5个实数解，则m的取值范围为(　　).

　　A. 　　 B. 　　C. 　　 　D.

　　分析 因为当x∈(-1,1]时，将函数化为方程(y≥0)，实质上为一个半椭圆，其图像如图2所示，同时在坐标系中作出当x∈(1,3]的图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆(y≥0)相交，而与第三个半椭圆(y≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解.

　　将代入(y≥0)得(9m2+1)x2-72m2x+135m20，

　　令t=9m2(t＞0)，则(t+1)x2-8tx+15t=0，由△=(8t)2-4×15t(t+1)＞0，得t＞15；由9m2＞15且m＞0，得；同样由与(y≥0)方程联立后，根据△＜0可计算得.综上知.故答案选(B).

　　评注 就以上的解题方法而言，充分达到了“以形助数、以数解形”的数形结合思想的精髓，不仅使解题过程一气呵成，而且充分展现出数学对称之美，使人深受熏陶.

　　例3 (2009年福建文科卷)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是____.

　　分析 该函数的定义域为(0,+∞)，导函数.因为存在垂直于y轴的切线，故问题转化为x＞0时导函数存在零点.再将之转化为曲线y=-2ax与

[1] [2]  下一页