关注集合中的创新型试题 高考专题辅导

近几年，为了考查学生在新的问题情景下知识的迁移、创新能力，各地的高考模拟题和高考试题中多次出现了不受大纲字句的约束，然而所考查的内容大体在高中数学范围内的问题，我们称其为创新型问题.创新型试题编制的情景新颖，突出考查学生灵活运用所学知识的能力，对于培养学生的创造性思维非常有用.下面选取与集合相关的创新型试题进行评析.

　　1.定义型试题

　　这类试题的特点是：通过给出新的数学概念或新的运算方法，让学生在新的情景下完成某种推理证明或指定要求.

　　[例1] 设集合P={3,4,5}，Q={4,5,6,7}，定义P★Q={(a,b)|a∈P,b∈Q}，则P★Q中元素个数为(　　).

　　A.3　　　　　　B.7　　　　　　C.10　　　　　　D.12

　　分析 在集合P中取一个数作为a的值.有3种可能；在集合Q中取一个数作为b的值，有4种可能.因此P★Q中元素个数为3×4=12.

　　2.信息迁移型试题

　　这类试题的特点是：试题通过定义新的概念、运算或给定新的模型，要求考生在理解题目的基础上，联系所学的知识，实现信息的迁移.

　　[例2] 若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1,A2)为集合A的一种分拆；并规定：当且仅当A1=A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1,a2,a3}的不同分拆种数为____种.

　　分析 如图1，我们可以把A1∪A2分成三个部分.第①部分表示(CAA2)∩A1，第②部分表示A1∩A2，第③部分表示(CAA1)∩A2.那么，题目就可以迁移为“把a1,a2,a3三个元素分别放进三部分，共有多少种方法”这一个我们非常熟悉的问题.容易得到迁移后的问题的方法种数33=27种，所以集合A={a1,a2,a3}的不同分拆种数为27.

　　3.条件开放型试题

　　这类试题的特点是：结论非常明确，但是条件不明确或不充分，而且满足题目的条件并不唯一，只要求考生找出其中一个正确的条件即可.

　　[例3] 若集合A，B满足条件____，则有.

　　分析 可填入A∪B=B、A∩B=A、A∩(C∪B)=φ等等，条件并不唯一. 　　

　　4.条件充要型试题

　　这类试题的特点是：以某个知识点为载体，要求考生对所给的条件与结论进行充分性和必要性的研究.

　　[例4] P，Q，M是集合，那么“P∩M=Q∩M”是“P=Q”的(　　).

　　A.充分不必要条件　　　　　　　　B.必要不充分条件

　　C.充要条件　　　　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

　　分析 显然，当P=Q时，有P∩M=Q∩M；取P={1}，Q={1,4}，M={1,2,3}，则有P∩M=Q∩M={1}，但是P≠Q.由此“P∩M=Q∩M”是“P=Q”的必要而不充分条件，选B.

　　5.结论探索型试题

　　这类试题的特点是：题目本身没有给出明确的结论，只是提出几种可能性，需要考生自己去探求结论，并作出适当的证明.

　　[例5] 已知全集I={1,3,x3+3x2+2x}，A={1,|2x-1|}，如果CIA={0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.

　　分析 因为CIA={0}，所以0∈I，但是.故x3+3x2+2x=0，即x(x+1)(x+2)=0，所以x1=0，x2=-1，x3=-2.

　　当x1=0时，|2x-1|=1，即I∈A，这与元素的互异性矛盾；

　　当x1=-1时，|2x-1|=3，符合题意；

　　当x1=-2时，|2x-1|=5，而.

　　综上所述，实数x的值是存在的，并且只能为-1.

　　6.结论开放型试题

　　这类试题的特点是：题目所寻求的结论有多种可能，只要求考生通过对已知条件进行分析，找出其中一个正确的结论.

　　[例6] 设I是全集，非空集合P，Q满足，若含P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集φ，则这个运算表达式可以是____.(只要写出一个表达式)

　　分析 如图2，画出相应的文氏图.由图像我们容易得到P∩(CIQ)的运算结果为空集φ.当然，该题目的答案有很多种，比如P∩(CIQ)∩I，P∩((CIQ)∪(CIP))等等，而P∩(CIQ)只是其中一个正确的结论.