例谈立体几何与平面几何的交汇创新题 高考专题辅导

在教材中，立体几何与平面几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系.实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间两个平面的交线，圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面(曲线)是空间中动点运动的轨迹.正因为平面几何与立体几何有这么多千丝万缕的联系，所以，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新题型的生长空间也相当宽广，因而也倍受历届高考命题者的青睐.

　　一、空间轨迹问题

　　教材中，关于轨迹，多在平面几何与平面解析几何中加以定义，在空间中，只对球面用轨迹定义作了描述.如果我们把平面解析几何中的定点、定直线不局限在同一个平面内，则很自然地把轨迹从平面延伸到空间.

　　例1 若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是(　　)

　　解 设二面角A-BC-D大小为θ，如图1，作PR⊥平面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ·sinθ，

　　∴=sinθ，为小于1的常数.故轨迹图形应选(D).

　　例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为____.

　　解 此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面上交线的长度计算.正方体的各个面根据与球心位置关系分成二类：ABCD，AA1D1D，AA1B1B为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为；A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为.

　　∴这条曲线长度为.

　　二、平面几何的定理、性质在立体几何中类比

　　高考考纲对考生思维能力中明确要求“会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能合乎逻辑地、准确地进行表述”.类比推理可考查考生利用旧知识进行知识迁移、组合和融汇的能力，是一种较好地考查创新能力的形式，平面几何到立体几何的类比，材料丰富，操作性强，在历年高考中均有不俗表现.

　　例3 由图2有面积关系：，则由图3有体积关系=____.(答案：)

　　例4 在四面体ABCD内部有一点O，使得直线AO、BO、CO、DO与四面体的面BCD、CDA、DAB、ABC分别交于A1、B1、C1、D1四点，且满足，求k的所有可能的值.

　　分析 类比平面几何中的三角形，于是命题可以从“△ABC内部有一点O，使得直线AO、BO、CO与三角形三边BC、CA、AB分别交于A1、B1、C1三点，且满足，求k的所有可能的值”的推理过程，探求思考途径. 　　

　　解 在平面几何中，由面积证法，即，

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