让数学思想滋润学生的心田——“方程”教学实录

[教学内容]苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》六年级(上册)第1页例1，并完成“练一练”和练习一第1—5题。

    [教学目标]

1．使学生经历探索运用方程解决较复杂的实际问题的过程，能将实际问题抽象成数学表达，并建立形如ax+b=c的方程，进而解决问题，初步体会建模思想。

2．使学生经历探索运用等式的性质解形如ax+b=c的方程的过程，能将形如ax+b=c的方程逐步转化成形如x≈a的形式，初步体会化归思想。

    [教学过程]

    一、引入

    谈话：西安是我国的一座历史文化名城，那里名胜古迹众多，其中就有闻名遐迩的大雁塔和小雁塔(用课件出示大雁塔和小雁塔的图片)。这节课我们就先来研究与这两座塔有关的数学问题(用课件出示例1的文字部分)。

    二、探索

    1．找数量间的相等关系。

    (指名读题)

    师：通过读题，你知道大雁塔和小雁塔的高度之间有什么关系吗?

    生：大雁塔高以米，比小雁塔高度的2倍少22米。(教师用课件呈现“大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”)

师：如果要用一幅线段图来表示大雁塔和小雁塔高度之间的关系，可以怎样画?同桌讨论一下。

生：我先画一条线段表示小雁塔的高度。

师：为什么呢?

生：因为可以把小雁塔的高度看作1份，任意画一条线段来表示，再画表示大雁塔高度的线段。

师：(课件演示画图的部分过程：先画一条线段，表示小雁塔的高度，再画出小雁塔高度的2倍)你们能接着画下去吗?请看老师发给你们的练习纸，上面已经画好了和银幕上一样的图，请根据“大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”，接着画下去。(学生画图，教师巡视)

师：(用实物投影展示一名学生画的图)你能说说为什么要这样画吗?

    生：(边指图边说)这是小雁塔高度的2倍，大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米，所以从这里往回画22米。

师：那么，哪一段表示了大雁塔的高度?

生：(指图)从这里到这里。

师：和他一样画、一样想的同学请举手。(大多数学生举手)

师：请大家看银幕(银幕上有如下内容)，现在银幕上有一个问题、一句话、一幅线段图。根据这些内容，你能找出大雁塔与小雁塔高度之间的相等关系吗?可以先在小组里讨论一下。

生1：小雁塔的高度x2-22=大雁塔的高度。

师：(板书这一关系式)你是怎么想到这个关系式的?    

    生1：我是看着图想的。

    师：能说说想的过程吗?

    生1：我看到最下面的线段，“小雁塔高度的2倍”去掉“22米”就是“大雁塔的高度”。

    生2：我是看着中间那句话来想的，因为“大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”，所以就用“小雁塔高度的2倍”减“22米”等于“大雁塔的高度”。

师：两位同学的想法都很好。请用其中一种想法再想一遍，并和同桌说一说想的过程。

师：大雁塔与小雁塔高度之间的这种相等关系，你还能用别的等式来表示吗?

生：我用大雁塔的高度先加22再除以2。

师：(指线段图)大家看，“大雁塔的高度+22”跟什么是相等的?

    生：大雁塔的高度+22=小雁塔的高度×2。

师：(板书这个关系式)讲得非常好!我们找到第二个等式来表示两座塔高度之间的相等关系了。还能找到第三个吗?(学生都不举手，多数脸上有疑惑的表情)那么这样，老师提示一下，这个等式的一边是“22米”，大家想，另一边可以写上怎样的式子，能和“22米”相等?

生：小雁塔的高度×2－大雁塔的高度=22。

师：谁能对照线段图或这句关键的话，分析一下这个关系式是否正确?

生1：“大雁塔的高度”比“小雁塔高度的2倍”少，所以用“小雁塔高度的2倍”减“大雁塔的高度”。

生2：我看线段图可以知道，“小雁塔高度的2倍”减“大雁塔的高度”等于22米。

    2. 列方程。

    师：我们先看最先找到的关系式：小雁塔的高度×2－22=大雁塔的高度。在这个关系式中，已知“大雁塔的高度”是64米，求“小雁塔的高度”。像这样的题，适合用什么方法解答?

    生：用方程解。

    师：怎样设未知数呢?根据这个等量关系怎样列方程呢?同桌讨论一下。

    生：设小雁塔高x米。2x-22=64。

师：这个方程的左边表示什么?右边呢?

生：左边的“2x”表示“小雁塔高度的2倍”，减22米后就是“大雁塔的高度”；右边是“大雁塔的高度”。

师：所以说这个方程左右两边表示了同一个数量，符合题意，是正确的。

    3．解方程。

师：这个方程和以前学过的方程有什么不同?

生：以前学过的方程左边只有一步，这个方程左边有两步。

师：你能联系实际问题，运用以前学习的知识，想出解这个方程的第一步吗?请动笔写一写。

 (学生尝试解方程，教师巡视指导)

生1：2x=64+22。因为“2x”是“小雁塔高度的2倍”，它就等于“大雁塔的高度”加“22米”。

生2：我也认为25x=-64+22。但我是这样想的，方程的左边要先算“2x”，就把“2x”当作一个整体，这样，方程的两边同时加22，就得到2x=64+22。

师：其实，XXX(生1)的解法正好说明XXX(生2)的解法是正确的。由于“小雁塔高度”未知，“小雁塔高度的2倍”也就未知，就可以把它看作一个整体。这样，原来的方程就可以看作是“一个整体-22=64”，就能运用等式的性质来解了。请大家把这种想法和同桌说一说，然后把这个方程继续解完。   

生：2x=86，x=86÷2，x=43。

    师：这个方程的左边有两步，解这个方程时，最关键的步骤有哪些?

    生：把2x看作一个整体，方程两边同时加22；方程变成2x=86后，两边再同时除以2。

师：大家看，方程两边同时加22后，方程左边由两步变成了一步；方程两边再同时除以2后，方程左边只剩下x，右边是43，就表示方程解完了。其实解方程的过程就是不断运用等式的性质等知识，把原来比较复杂的方程变得越来越简单，一直简单到“x等于几”的形式。

师：谁能检验一下，结果是否正确?

生：把x=43代入原方程，左边=2×43-22=86-22=64，右边=64，左边=右边，所以x=43是原方程的解。

师：一开始我们检验了所列的方程是正确的，现在检验了结果也是正确的。所以，小雁塔高43米。

4. 小结。

    师：谁能回顾一下，我们刚才用方程解决问题主要经历了哪些步骤?

    生1：先找到了大雁塔与小雁塔高度之间的相等关系。

生2：然后设未知数为劣，并列出方程。

生3：再根据等式的性质解方程，并检验，最后写出答案。

师：(结合学生口答，板书：找、设、列、解、验、答)你觉得这些步骤中，最关键的什么呢?

生：找数量间的相等关系。

    5．列不同的方程。

    师：对这个问题，开始我们还写出了另两种关系式。请任意选一个关系式，也设小雁塔高劣米，列出方程，并求出方程的解。

    (生列方程、解方程)

    生1：2x=64+22，2x=86，x=86÷2，x=43。

    生2：2x-64=22，2x=22+64，2x=86，x=86÷2，x=43。

    师：观察3个解方程的过程，有什么相同的地方?

    生：都有2x=86这一步。

    师：原来都是比较复杂的方程，运用等式的性质或经过计算，都变成相同的简单方程。所以说，3个方程虽然是依据不同的等量关系所列，但实质上还是相同的。相比较而言，哪个方程所依据的等量关系思考时更顺一些?

生：2x-22=64。

三、练习

1．完成“练一练”。

出示一幅线段图：

师：能用一句话说明线段图所表示的数量关系吗?

生：杭州湾大桥全长比香港青马大桥的16倍还多0.8千米。

    师：杭州湾大桥已经建成，它是目前世界上最长的跨海大桥，全长36千米。你能用方程求出香港青马大桥的长度吗?

(生解决问题)

生1：解：设香港青马大桥长x千米。16x+0.8=36，16x=36-0.8，16x=35.2，x=2.2。

    师：你根据什么等量关系列的方程?

    生1：香港青马大桥的长度×16+0.8=杭州湾大桥的长度。

师：谁能说说解这个方程，第一步可以怎样想?

生2：把“16x”看作一个整体，方程两边同时减0.8。

    师：结果是否正确，怎样检验?

    生3：16x2.2+0.8=35.2+0.8=36。

师：这个“练一练”和例题有什么相同的地方?

生1：都要根据等量关系列出方程解答。

    生2：列出的方程左边都有两步计算。

师：而且都是“几x”加或减几。那么解方程时有什么相同的地方?

生1：都要把“几x”看作一个整体。

    生2：都要两次运用等式的性质。

    2．完成练习一第1题。

    请学生看书上的题，独立完成。教师巡视。请一位学生将解第(2)题“1.8+7x=3.9”的过程写在黑板上，集体评讲。

    3．完成练习一第2题。

请学生看书上的题，独立完成第(1)题的填空，教师巡视，发现有些学生不会填。组织集体讲评，课件逐步呈现如下内容，指导学生思考。 

再让学生独立完成第(2)题，交流思考过程。

4．完成练习一第3题。学生看书上的题，独立完成。展示学生的作业，请学生说想的过程。

四、作业与总结(略)