15．2乘法公式 教案设计

完全平方公式

　　教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何解释；视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．

　　教学重点与难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用.

　　教学过程：

　　一、提出问题，学生自学

　　问题：根据乘方的定义，我们知道：a²=a•a，那么(a+b)² 应该写成什么样的形式呢？(a+b)²的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？

　　（1）(p+1)² = (p+1)(p+1) = _______；   (m+2)² = _______；

　　（2）(p−1)² = (p−1)(p−1) = _______；   (m−2)² = _______；

　　学生讨论，教师归纳，得出结果：

　　(1) (p+1)² = (p+1)(p+1) = p²+2p+1

　　   (m+2)² = (m+2)(m+2) = m²+ 4m+4

　　(2) (p−1)² = (p−1)(p−1) = p²−2p+1

　　   (m−2)² = (m−2)(m−2) = m²− 4m+4

　　分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2•p•1，4m=2•m•2，恰好是两个数乘积的二倍(1)(2)之间只差一个符号．

　　推广：计算(a+b)² = __________；(a−b)² = __________. 

　　得到公式，分析公式

　　结论：     (a+b)²=a²+2ab+b²       (a−b)²=a²−2ab+b²   

　　即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．

　　二、几何分析：

　　你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗？

　　图(1)大正方形的边长为(a+b)，面积就是(a+b)²，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们分别的面积为a²、ab、ab、b²，因此，整个面积为a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²，即说明(a+b)² = a²+2ab+b².

　　类似地可由图(2)说明(a−b)² = a²−2ab+b².

　　三、例题：

　　例1、应用完全平方公式计算：

　　(1)( 4m+n)²    (2)(y−)²    (3)(−a−b)²    (4)(b−a)²

　　解答：(1)( 4m+n)² = 16m²+8mn+n²

　　(2) (y−)² = y²−y+

　　(3) (−a−b)² = a²+2ab+b²

　　(4) (b−a)² = b²−2ba+a²

　　例2、运用完全平方公式计算：

　　(1)102²    (2)99²

　　解答：(1)102² = (100+2)² = 10000+400+4 = 10404

　　(2)99² = (100−1)² = 10000−200+1 = 9801

　　四、添括号法则在公式里的运用

　　问题：在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(a−b+c)和(a+b+c)²，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？

　　学生回顾去括号法则，在去括号时：a+(b+c) = a+b+c，a−(b+c) = a−b−c

　　反过来，就得到了添括号法则：a+b+c = a+(b+c)，a−b−c = a−(b+c)

　　理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．

　　总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．

　　五、小结：

　　１、完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．

　　２、添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算.