命题与证明 教案设计

§24.3 命题与证明

　　一、教学目标

　　(一)知识目标

　　1.了解证明以及证明的必要性；

　　2.能将一些文字命题转化为数学问题，并进行证明；

　　3.掌握证明的步骤，证明过程中使用规范性语言；

　　4.能用举反例的方法证明或判断简单的假命题。

　　(二)能力目标

　　1.培养学生规范的数学解题能力；

　　2.培养学生分析问题、解决问题的能力。

　　(三)情感目标

　　培养学生具有敢于质疑的意识，同时又有尊重客观事实的科学态度，培养学生勇于探索，创新，解疑的科学精神。

　　二、教学重点

　　将文字命题转化为数学问题，并进行证明；证明过程中规范性语言的使用。

　　三、教学难点

　　将文字命题转化为数学问题，如何正确写出“已知”、“求证”。

　　四、教学方法

　　引导法，探究法。

　　五、教学用具

　　多媒体。

　　六、教学过程

　　(一)引入

　　一个同学在画图时发现，三角形的三条边上的高的交点在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形的三条边上的高的交点都在三角形的内部，他的结论正确吗？

　　(二)新课

　　由上面的事例说明：通过特殊的事例或实践活动得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，这样的结论需要进一步的证实.那么，怎样来证实呢？那就是证明。

　　根据题设、定义、公理以及定理等、经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

　　下面，我们通过证明命题“两直线平行，同旁内角互补”来了解什么是证明。

　　例1 证明：两直线平行，同旁内角互补。

　　分析：首先弄清命题的题设和结论，其次将命题的题设“两条平行直线被第三条直线所截”转化为数学的符号语言“已知：直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B”，再把结论“同旁内角互补”转化为数学的符号语言“求证：∠1+∠2 = 180°”，同时要画出图形。

图 1

　　已知：如图1，直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B。

　　求证：∠1+∠2 = 180°

　　证明：因为 a∥b(已知)，

　　所以 ∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)。

　　又因为 ∠3+∠2=180°(邻补角定义)，

　　所以 ∠1+∠2=180°(等量代换)。

　　由例1可知以下两点

　　1、文字命题的证明要求：写出“已知”、“求证”、“证明”，并画出图形；

　　2、证明的一般过程：由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，最后推出结论(求证)的正确过程。

　　注意：证明过程的每一步推理都要有理有据，也就是根据定义、公理和定理。

　　例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等。

　　引导学生画出符合条件的图形，再试写出“已知”、“求证”，并进行证明.分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明。

　　思路，最后写出证明的过程；由题意分析，可以先证明含中线的某两个三角形全等，再证得中线相等。

　　已知：如图2，在△ABC中，AB = AC，点E、F分别是AC、AB的中点。

　　求证：BE = CF

　　证明：因为点E、F分别是AC、AB的中点(已知)，所以

　　AE =AC，AF =AB(中点定义)       

　　因为 AB = AC(已知)，

　　所以 AE = AF(等量代换)

　　在△ABE和△ACF中，因为

　　AB = AC(已知)，

　　∠BAE =∠CAF(公共角)，

　　AE = AF(已证)，                                             

　　所以 △ABE≌△ACF(S.A.S.)

　　因此 AE = AF(全等三角形的对应边相等)。

　　例3 求证：有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等。

　　分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后写出证明的过程。

图 3

　　已知：如图3，在△ABC和△A’B’C’中，∠ACB =∠A’C’B’ = 90°，AC = A’C’，CD⊥AB于D，C’D’⊥A’B’于D’，且CD = C’D’。

　　求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’。

　　分析：(1)Rt△ABC与Rt△A’B’C’中已满足全等的什么条件？(AC = A’C’，∠ACB =∠A’C’B’ = 90°)

　　(2)还需补充什么条件两三角形全等？(BC = B’C’，或AB = A’B’，或∠B =∠B’，或∠A =∠A’)

　　(3)选择哪个条件?(∠A =∠A’)

　　(4)为什么？(已有条件AC = A’C’，CD = C’D’)

　　即先证明Rt△ACD≌Rt△A’C’D’，再证明Rt△ABC≌Rt△A’B’C’。

　　请小组同学共同完成证明过程(略)。

　　文字命题证明的一般过程：

　　首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，写出结论(求证)的正确证明过程。

　　例4 试说明“两个锐角的和等于直角”是假命题。

　　分析：对假命题的证明，用举反例的方法证明。

　　举反例：就是要证明或判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子即可。

　　解 设两个锐角都为30°，则两个锐角的和为60°，不等于90°，所以这个命题是假命题。

　　(三)小结

　　1、证明的一般步骤；

　　2、用举反例的方法证明或判断简单的假命题。