等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的主要性质是等边对等角及“三线合一定理”即“等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线也是底边上的高（三线的顺序可以互换）”；反之也成立，前者为等角对等边，后者为：如果一个三角形三线中有二线重合，我们可以证明它是等腰三角形。有个角是60°的等腰三角形是等边三角形，这个角可以是顶角也可以是底角。

典型范例

例1：在△ABC中，∠1＝∠2,BD=CD，求证：AB=AC分析：要证AB=AC,若能证AB和AC作在三角形△ABD和△ACD全等就可以了，但利用已知条件不能直接证明（因为SSA不成立），此时想到添加辅助线，延长中线AD到E点，使得DE＝AD,易证△ABD≌△ECD（SAS），从而∠1=∠3,AB=EC，又∠1=∠2,故∠2=∠3,得到AC=EC从而AB=AC。

评注：本题实质上就是要证明有二线（角平分线和中线）重合的三角形是等腰三角形这一结论，至于其他二线（高和中线或高和角平分线）重合的证明比较简单，错用的添加辅助线方法是常用的延长中线的方法。

例2：在△ABC和△BDE中，已知∠ABC=∠DBE=Rt∠，AB＝BE，AC＝DE，求证：∠BOC＝3∠A

分析：由于∠BOC＝∠1＋∠A,如果∠1＝2∠A，问题得证，考虑到∠1＝∠CBD，利用已知条件可证得Rt△ABC≌Rt△EBD，从而BC＝BD且∠A＝∠E为了证得∠CBD＝2∠A，利用“三线合一定理”作∠CBD的平分线BF,则∠2＝∠3＝1 2 ∠CBD，且BF⊥CD，在Rt△BDE中，BF是高，不难得到∠3＝∠E。

∴∠BOC＝∠A＋∠1＝∠A＋∠CBD＝∠A＋2∠3＝∠A＋2∠E＝∠A＋2∠A＝3∠A。

评注：本例属于倍角问题，一般说来难度较大，添辅助线的方法不一，还可以用作平行线或垂线等添辅助线的方法，关键在于转换和制造倍角关系。

例3：已知BD为等腰直角三角形ABC的腰AC的中线，CE⊥BD且分别交BD，斜边AB于E、F，连接DF，求证：∠ADF＝∠CDB。

分析一：欲证∠ADF＝∠CDB，从图形上看这两个角所在的两个三角形不全等，且很难转化，这时应考虑添加辅助线，∵AC＝BC，∠1＝∠2,所以过A点作AG‖BC交CF的延长线于G,易只△ACG≌△CBD，则∠CDB＝∠AGC，再证∠ADF＝∠AGF，只须证△ADF≌△AGF就可以了。

分析二：考虑到△ABC为等腰直角三角形，可过点C作CH⊥AB交AB于H，交BD于G，要证∠ADF＝∠CDB，只须证△ADF≌△CDG，由于∠DCG＝∠DAF＝45°，AD＝CD，∴只须证AF＝CG就可以了，为此由Rt△CHF≌Rt△BHG（∵∠1＝∠2，CH＝BH），或△ACF≌△CBG问题得以解决。

评注：比较以上两种证法，前者是寻求一个角与要证的两个角相等，而后者是直接设法证明所要证的两个角相等，体现了证题思路，在几何证题中应灵活掌握。