三角函数·正弦函数、余弦函数的性质·教案

5．最值：当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1；当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，y取最小值-1，即当x＝kπ（k∈Z）时，y取得最值．

6．奇偶性：余弦函数图象关于y轴对称，从中可以看出余弦函数为偶函数，这可通过cos（-x）=cosx来证明．

（k∈Z）都是对称中心；又是轴对称图形，所有直线x=kπ，k∈Z都是对称轴．

至此，我们对正弦函数、余弦函数的性质已有所了解．下面换个角度进行思考．

当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，如图5．

所以它们的定义域相同，都为R．值域也相同，都是［-1，1］．最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）值的时刻不同．它们的周期相同，最小正周期都是2π．它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变．

由此可见，图象的平移变换对函数的性质会产生影响．

三、课堂练习

例1  说出y=sinx（x∈R+）的性质．

解  先画出函数图象，再根据图象进行分析．

（注意此函数的定义域对图象的影响）

由图象可知，

定义域：x∈R+．

值域：y∈［-1，1］．

奇偶性：从图象上可以看出它非奇非偶．另外，定义域的不对称性也决定了它既非奇也非偶．

周期性：它是周期函数，T=2kπ（k∈N）是它的周期，最小正周期为2π．

对称性：y＝sinx的图象是轴对称图形，它有无数条对称轴，对称

中心，对称中心是（kπ，0），k∈N．

通过这道例题，对正弦函数性质进行了的复习，从中可以看出定义域对函数性质的影响．

例2

由图象去分析函数性质．

定义域：x∈R．

值域：y∈［0，1］．

k∈Z时，y取最大值1．

奇偶性：是非奇非偶函数（图象既不关于y轴对称，又不关于原点呈中心对称）．

周期性：最小正周期为2π．

的增大而减小．

从此题可以让学生初步看到纵伸缩，纵向平移变换不改变对称性，定义域，增减区间等，但函数的某些性质发生了变化．

需要强调的是在分析函数的性质时，若能较为准确地画出图象，最好利用图象去做，有些函数性质也可以从代数变换中得到，一般较为繁杂．例如此题的函数值域可以用不等式变形来做：

再比如奇偶性的讨论：

奇非偶函数.

函数的有些性质利用函数图象来讨论既直观又简明，所以熟记基本的正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象，并利用它们作出有关的三角函数图象是分析函数性质的关键．

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