芒德勃罗：沿着博物学传统走来

　　芒氏把世人的想法正好颠倒过来，他认为别人视为怪物的东西恰恰是最普通的类 型；别人视 为想当然的无比美好的点、线、面、体却是例外。长期的观察、收集与总结，使芒德勃罗获得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何（广义的，泛指分形几何以外的标准几何）以外，应该 还有一种不 光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。

　　在其代表著《大自然的分形几何学》中，芒德勃罗如是说：“为什么几何学常常 被说成是‘ 冷酷无情’和‘枯燥乏味’的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传 播的。更为 一般地，我要指出，自然界的许多图样是如此地不规则和支离破碎，以致与欧几里得（几何）——本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学——相比，自然界不只具有较高 程度的复杂 性，而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同标度下的数目，在所有实际情况下都是无限的。这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁 置在一边， 被认为是‘无形状可言的’形状，去研究”无定形“的形态学。然而数学家蔑视这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的任何东西都无关的理论，却回避从大自然 提出的问题 .”［2］

　　芒氏认为，分形几何学并非20世纪数学的直接“应用”。它是数学危机的一个晚 产的新领域 ，这个危机从雷蒙德（duBois Reymond）1875首次报告外尔斯特拉斯构造的处处连续而不可微 函数就已开始了。这次危机大约延续到 1925年，主要的演员是康托尔、皮亚诺、勒贝格和 豪斯多夫（Flix Hausdorff，1868-1942）。这些天才们的工作的影响，远远超出了原定的范围 .他们及其几代后继者都不 知道，在他们那些十分返朴归真的创造后面，有着一个趣味盎然的世界。

　　海岸线：最容易说明的分形

　　巴塞罗斯（Anthony Barcellos）采访芒德勃罗时问他：“分形实例中你最喜欢哪 一个？”芒氏脱口而出：“当然是海岸线例子”。［4］随即他又补充说还有“血管分形结构”以 及“自平方龙”（复 迭代中的一个例子）等例子。他风趣地讲，实际上他不知道最喜欢哪一个，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜欢，作为父亲因为所有孩子而骄傲，所有孩子 都为这个分 形之家添了光彩。“一个人可以因为不同的理由爱不同的孩子，但他不可能有真正绝对的偏爱。”

　　不管怎么说，海岸线例子还是最容易说清楚的分形实例，芒氏到处演讲，也总是 提起它，在 两部专著中也把海岸线问题放在前头讲述。

　　1967年芒氏在美国的《科学》杂志上发表长度为两页多一点的报告《英国海岸线 有多长？统 计自相似与分数维》，［23］列出分维公式D=-logN/logr（N），说明海岸线是一种无标度对象，用不同刻度的“尺子”去测量此类现象，可以得到完全不同的长度 结果。实际 上可以说海岸线有任意长度、无穷长度（当然从物理上看，无标度区间总有一个下限，在原子层次就不能再谈“海岸线”问题了）。这时候“长度”就不是一个特别合适 的物理量了，它 显得有点不“客观”，而分维D则是一个很好的特征量。

　　实际上关于海岸线长度测量悖论，在芒氏之前英国著名气象学家里查逊（Lewis Fry Richard son，1881-1953）、波兰著名数学家斯坦因豪斯（H.Steinhaus，1887-1972）和法国著名实验物 理学 家、诺贝尔奖获得者佩兰（Jean-Baptiste Perrin，1870-1942）等都有过精彩论述。芒 氏当时似乎只注意到前两人，后来才发现后者有一长串精辟阐 述（在1977年、1982年的专著 中芒氏大段引述了佩兰的话）。在《科学》杂志上的这篇文章中，芒氏根据 里查逊的数据绘制了6条海岸线的“双对数图”，展示了存在6条直线（只有一条略弯曲），这些直线的斜率就 代表海岸线 的分维值。

　　这篇文章的第二张图示意了如何用几种“生成元”导出不可求长的 （nonrectifiable）的自相似曲线。后来芒氏用柯赫曲线来说明海岸线问题。80年代后，生成元与L系统理论和计算机 图形学结合起 来，引起不小的热潮。

　　从这个实例可以看出，分形几何非常直观、简单，比现在任何一种数学都简单几 百倍，似乎 没什么了不起。但第一个吃螃蟹的人不容易，第二、第三个吃者也不简单。对于分形几何学中相当多内容，即使芒氏也不是第一个吃螃蟹的人，但他使吃螃蟹成为了时尚。他做的许多 贡献都是这 种性质的，他最终将毫无头绪的“杂多”综合在一起，创立了分形科学。

　　贯穿始终的一条线索

　　除了创立分形几何学这样一个总的题目，芒氏的主要科学成就具体说来主要包括 什么？如果 去掉“主要”两字，罗列一长串也就齐了，但是限制列出几项，考虑起来可不容易。有些现在看起来重要，可能不久后随着科学的发展又不算什么了，有的现在一般般，但也许以后会 变得重要。 无论怎样，作者还是根据自己的粗浅理解初步列出几项：

　　1）发现莱维（Paul Levy，1886-1971）稳定分布的重要性，并应用于经济学、布朗 运动、星系分布等领域；

　　2）用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；

　　3）［重新］发现M集合，推动了复迭代的复兴和计算机图形学的发展；

　　4）在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；

　　5）提出“分形”概念和“多分形”（multifractal，也译作“多重分形”、“多 标度分形”） 思想，为不规则现象、临界现象研究树立了一面新的旗帜；

　　6）促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。

　　在一般人看来，芒德勃罗的最主要贡献是发明了一种新的几何学。但是仔细研究 他曲折的学 术生涯会发现，他首先进入的并不是基础数理科学，而是“工程技术”（做广义的理解）。他在工程技术中（或者用中国话来说，在生产实践中）发现问题，总结出带有规律性的东西，进 而将它们上 升为一般理论，最终创立“分形几何学”。这与当前物理学家、数学家改行的顺序似乎正好相反，现在通常是由基础数理科学转向经济学、社会学和哲学等。

　　直到最近人们对芒氏的理解还局限于确定论范式，90年代以后才有一些人注意到 芒氏那里还 有随机论范式，并且在芒氏那里两者本来是有机地结合在一起的。

　　芒氏本人曾明确说过，如果将来写关于分形方面的专著或者教科书，倒是可以直 接从随机变 量、随机函数讲起，而他之所以没有这么做，主要是考虑：首次进入能够极大地吸引读者的话题，应让读者立即产生几何直觉。无论是研究词频分布、通讯系统的噪声、价格变化，还 是布朗运动 、湍流、星系结构，芒氏都用了“自相似”这一貌似简单的思想。他的思路这这样的：

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