芒德勃罗：沿着博物学传统走来

　　从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将“莱维飞行”运用于 各种场合， 包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾的是，科学 界直到90年代才认识到这部分工作的重要性。

　　阵发湍流

　　芒德勃罗关于流体湍流问题的研究始于对经济学的研究之后，1963年秋季他在哈 佛大学听了斯图尔特（Robert Stewart）的一次讲座，了解到流体力学研究中讨论阵发（间歇）（intermitt ency）现象，同时知道了苏联学 派关于湍流研究的一些最新结果，如柯尔莫哥洛夫1941年与19 61-1962年两个阶段的创造性工作。芒德勃罗立即有一种冲动：试图转向湍流研究。他觉得 这些观念对于 自己并不算新鲜事，大约10年前自己在研究通讯噪声时，就碰到过类似的现象。他认为湍流中的许多问题与分形有关（当时还没有“分形”这个概念）。他迫不急待地想把 自己在其他 领域做的工作“翻译”成流体力学的语言。

　　众所周知，湍流是困扰科学家百年之久的老大难问题。流体运动显然满足纳维叶 -斯托克斯 （Navier-Stokes）方程，但这无济于事，这个方程根本无法求解。多少年来人们从解析的角 度做了各种努 力，均未获重大进展。芒德勃罗则是从几何形状入手的，他声称自己不断观察关于湍流的绘画、照片，考察湍流的速度记录，甚至倾听湍流（将数据转化成音频信号），还 用功率谱等 手段测量湍流，以获得基本的几何直觉。利用自己对其他奇异性问题研究的经验，他形成了一些猜想，但并不能证明它们。直到1967年他才发表关于湍流的文章《偶发湍流 》（Sporadic turbulence），1968年发表《论阵发自由湍流》（On intermittent free turbu lence），1972年发表《有关阵发湍流能量耗散的对数正则假设的可能细化》 ，1974年发表《 自相似级联阵发湍流、高阶矩的发散性与载体的维数》，1975年发表《论各向同性湍流》 ， 1976年发表《阵发湍流与分维》，1977年发表《分形与湍流：吸引子与弥散》等。

　　芒德勃罗对湍流的研究不是从基本方程入手进行严格数学分析，而是从宏观上、 从几何角度观察，先获得几何直觉，构造核心概念，再一层一层作定性分析。这一思路是“将自相似技术应用于湍流的几何学”。芒氏明显地受柯尔莫哥洛夫1941年文章风格的影响，他说：“方 程（指欧拉方 程和纳维叶-斯托克斯方程）并没有帮助我们理解柯尔莫哥洛夫，同时柯尔莫哥洛夫也没有帮助我们解方程。”

　　芒氏首先从湍流级联（cascade，也译级串）中的自相似出发，在这方面著名气象学 家里查逊仍然走在前面。1926年里查逊就引入了与级联有关的旋涡等级层次（hierarchy of eddies） 的概念。1941年哥尔莫哥洛夫、奥布科夫（A.M.Obukhov）、翁萨格（Onsager）和魏扎克（von Weiza……cker）沿此路线作出重大贡献，不过一般情况下这一组研究只冠以柯尔莫哥洛夫的名字。

　　芒氏作出“湍流运动的奇异性本质上是分形”的重要猜想。从其它方程导出的已 知的奇异性 不足够以解释直观上我们看到的湍流的特征，于是他猜测：基本方程的湍流解，一定牵涉到新的类型的奇异性，并且可能就是分形。特别地，他说：“纳维叶-斯托克斯方程的解如果 存在，就是事 实上的极限分形。”他进而猜想，欧拉方程解的奇异性，也是实际上的分形。这样一来他发展的分维概念就有了用武之地。直观上看，纳维-斯托克斯方程的解要比欧拉 方程的解光滑 些、少些奇异性，于是可以猜测欧拉方程的解的维数比较大一些。芒氏承认，证明这些猜想，都远远超出了他的解析能力。实际上对于微分方程也是如此，以前人们只知 道不动点、 极限环和极限环面（torus），经过浑沌的洗礼，才知道还有另一种非周期定态运动。当时芒德勃罗直觉上猜测流体方程应当具有新的奇异性，的确是一个创见。

　　在研究湍流阵发现象时，他贯彻了“自相似教义”，提出了一个有趣的新概念“ 乳凝”（curdling），与它对应的一个词是“乳清”（whey）。“乳凝”和“乳清”随机地混合在一起，构成复杂的结构，类似于康托尔集合、谢尔宾斯基海绵。芒氏特别强调，对“乳凝”这个词不 要作字面上 的理解，但是考虑到“乳凝”外面的空间包围着“乳清”，倒是有助于理解问题。芒氏形成这样的概念，大概受到诺维克夫（E.A.Novikov）和斯图尔特（R.W.Stewart）1964年论文《湍流的 阵发性与能量耗散涨落的谱》（原文为俄文）的影响，也受到霍伊耳（F.Hoyle）1953年和1975年关于星系团 等级层次模型的影响。

　　芒氏解释说，诺维克夫与斯图尔特合写的文章的核心假设是，阵发性是由级联导 致的，在每 一阶段能量都从一个旋涡（eddy）“集中”或者“乳凝”（作动词用）到N个次级子旋涡（su beddies），旋涡的比例为r，于是有如下分维公式D=logN/log（1/r）。对于宇宙 学D一般小于2，但对于流 体湍流D大于2.在1977年的专著《分形》中，芒氏用四页插图表现 “随机乳凝”（random curdling）结构，用以形象地说明流体湍流耗散的一般过程。

　　经过m次级联耗散后，能量均匀分布在第m层次的γmD个子涡旋上。在三维空间上 一共有γ3m个子涡旋。当级联无限进行下去时，耗散的极限分布均匀地散布在一个维数小于3的分形“乳凝”（作名词用）上。芒德勃罗将这种湍流称为“分形各向同性湍流”（fractally homogeneous turbulence）。

　　利用这种思想芒氏于1976年将柯尔莫哥洛夫的5/3指数改写为5/3+B，其中 B=（3-D）/3.

　　芒氏特别研究了乳凝与乳清的结构关系，这时他用到了物理学中非常重要的概念 ——逾渗和 逾渗壶（percolator）。逾渗壶就是一组自相似的集团（cluster），而集团是由联通的乳凝组成 的。芒氏1974年将简单的乳凝（1/r和N都取整数的情况）分解过程称为正则乳凝（canon ical curdling），后来又考虑令N可以随机变化，对应于每一层次有一个随机数U，再规定 一个概率阈值p ，当U大于p时子旋涡湮灭成为乳清，当U小于p时子旋涡存活为乳凝。当p小于 1/r3时，所有过程都死掉，于是D为0，对于其他情况有非零概率，过程收敛到一个维数为 D=3-logp/logr 的分形上。此模型的好处在于D可以在0和3之间变化。

　　法国尼斯天文台的弗里茨（Uriel Frisch）教授1995年在专著《湍流：柯尔莫哥洛 夫的遗产》中高度评价了芒德勃罗关于阵发湍流的思想，实际上弗氏是较早就认识到芒氏思想重要性的 少数人之一 .1974年克莱茨南（R.H.Kraichnan）纠正了随机级联模型的一个概念错误，用速度增量和能量流这些惯性物理量代替了耗散量，使得诺维克夫-斯图尔特模型发展为β 模型。弗里茨在β 模型中讲述了芒氏的自相似级联思想。结合柯尔莫哥洛夫1941年的论文

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