芒德勃罗：沿着博物学传统走来
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增大字体实际上1900年在法国，庞加莱的一个名叫巴歇列（Louis Bachelier，1870-1946）的学生， 在其论文中就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股 票市场涨落问题的，未引起物理学家的注意。巴歇利引入了今日称作查普曼-柯尔莫哥洛夫链的方程，并 导出了随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知， 它对后来布 朗运动的物理学没有产生直接影响。巴歇利研究的经济问题中没有摩擦、没有斯托克斯定律，也没有阿弗伽德罗（Amedeo Avogadro，1776-1856）常数。芒德勃罗在1977年出 版的专著《分 形：形、机遇与维数》中，特别以很多的篇幅描述了巴歇利的简历和研究成就，虽说芒德勃罗极擅长从旧纸堆中挖掘一些没有注意的“古怪”东西，但用如此长的篇幅还 不多见。
爱因斯坦的著名论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》1905 年发表在《 物理学杂志》。［31］爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走（random walk）均方位移（ mean squared displacement）随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子： λx=[KF（]2Dt[KF）]，用现在的符号表示则有〈x2（t）〉=2Dt.1908年这一结果立即被 佩兰用来测定阿 佛加德罗常数，进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。
但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。从数学上看，布朗运动涉及 许多艰深的内容。对于离散布朗轨迹，可以在固定步长的格子上研究简单的随机行走，但对于连续情形却遇到了严重的困难：布朗粒子运动路径处处不可微，粒子的速度无法定义。这时已有了勒 贝格的测度 理论，而又恰好出现了一个伟大的人物——维纳，他抓住这个时机（大约于1921 年），利用测度理论，发展了一整套漂亮的随机过程理论，后来称之为维纳过程或者布朗运 动。芒德勃罗 早就把布朗运动视为分形的一个典型，并将布朗运动轨迹视为二维分形。
维纳开创的布朗运动数学，已成为概率论的一个经典范式（paradigm）。后来柯尔 莫哥洛夫 （A.N.Kolmogorov，1903-1987）于1931年奠定了概率论的基础，日本学者伊藤清（Ito） 又发展了维纳的理论 ，提出随机积分等概念。
1968年芒氏与尼斯（J.W.van Ness）合作发表了一篇重要论文《分数布朗运动、分 数噪声及应用》，1969年与瓦利斯（J.R.Wallis）合作发表论文《带有分数高斯噪声的计算机实验》，19 71年发表论 文《一种快速的分数高斯噪声发生器》等。实际上芒氏所使用的若干新工具、新方法，早在这之前他就十分熟悉了，已经在通讯工程和经济学领域部分尝试过。
芒氏1968年的文章通过引入了“记忆”推广了布朗运动，分形布朗运动的概率分 布为
p（x，t）=[SX（]1[][KF（]2πσ2（t）[KF）][SX）]exp[JB（（][SX（]-x2[] 2σ2（t）[SX） ][JB））]
其中σ2（t）=t2H，H的取值范围一般限制在（1，1/2）之间。当H=1/2时，正好对应 于布朗运动。这一推 广意味着随机行走的均方位移随t2H而增加。当H较小时扩散较慢，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。
如果随机行走发生在分形体上（如逾渗（percolation）格子），则运动行为不同于 一般的布朗运动，运动由于空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以分成 两类，当H小 于1/2时，均方根位移慢于线性增长，当H大于1/2时，均方根位移快于线性增长。其中后者非常有趣，涉及著名的“莱维飞行”。
布朗运动的基本思想是随机行走，所使用的基本数学是高斯正态分布，随机行走 者t时间后的位置分布是高斯型的，方差正比于时间。对于一维的N步随机行走，每一步的步长x是一随机 变量，其概率分布为p（x），具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什么时候N步的总和的分布仍然 具有与单步相似的（乘以一个标度因子）分布？这等于问，整体与部分何时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程，因为N步 高斯分布加起 来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解。
早在1853年柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）就认识到对于N步可加（也 叫稳定 ）随机过程，除了高斯分布作为其显然解外，还存在其他可能的解。当把x实空间变换为 傅里叶 （Jean-Baptiste-Joseph Fourier，1768-1830）k空间时，可加过程的可能概率 分布为［18］
[AKp～D1]N（k）=exp（-N｜k｜β）。
当β等于1时，便得到柯西分布，β等于2时对应于高斯分布。如今上式称为莱维概率分布 .
应当说明的是，广义的莱维稳定过程（sD_1+sD_2=sD，s_1X_1+s_2X_2=sX+常数），仅对三种极特殊的情况，可以解析地求出稳定概率分布。当x的绝对值很大时，返回到 实x空间， p（x）可以用｜x｜-1-β来近似。当β小于2时，显然p（x）的二阶矩无穷大。这意味着除了在高斯情形中，随机行走（飞行）没有特征尺度。正是这一性质决定此类随机 行走是标度 不变的分形。这种随机行走好的性质在于自相似；坏的性质在于具有无穷矩（infinite moments），于是均方位移发散。
矩发散长期以来被认为是一个致命缺点，物理学家不愿意看到发散性。只是由于 芒德勃罗的大力鼓吹，莱维的思想才一点一点被物理学界所理解，90年代中期“莱维飞行”成了时髦的研究课题。在早些时候，在鼓吹、传播莱维不变分布方面，芒德勃罗当然是唯一的代表人物 ，这一点应 特别提及。
莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微，但跳跃的步长可以变化。 经过一番处 理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量X具有无穷方差，并不能否定X以概率1取有限值。例如柯西密度1/［π（1+x2）］变量几乎总是有限的，但它 具有无穷方差和无穷期 望。莱维飞行的宏观轨迹是一系列折线或者孤立的康托尔尘埃点集。一般情况下不考虑粒子在两个端点之间飞行的中间过程，如果考虑两次跳跃之间具有某种速 度，这种过 程又叫作莱维行走（Levy walk）。人们可以问在不同的飞行片段中，在时间t粒子的飞行速度是多少，这一定是某个与时间有关的有限值。但是平均飞跃状况是 发散的。
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