高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析（3）.doc

【练30】已知函数的定义域和值域分别为R试分别确定满足条件的a的取值范围。答案：（1）或（2）或

例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+)(b+)≥.

【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a+和 b+不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。

证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.

证法二：(均值代换法)设a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.

证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤

证法四：(综合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.

证法五：(三角代换法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)

【练31】（2002北京文）数列由下列条件确定：

（1）         证明：对于总有,（2）证明：对于，总有.

例32、已知二次函数满足，且对一切实数恒成立.  求；  求的解析式；求证：

【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。

解：（1）由已知令得：

（2）令由得：即则对任意实数恒成立就是  对任意实数恒成立，即：

则

（3）由（2）知 故

         故原不等式成立．

【练32】（2005潍坊三月份统考）已知二次函数，满足；且对任意实数x都有；当时有（1）求的值；（2）证明（3）当时，函数是单调的，求证：或

（1）（2）运用重要不等式（3）略

例33、记，若不等式的解集为，试解关于t的不等式。

【易错点分析】此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在上是增函数。

解析：由题意知，且故二次函数在区间上是增函数。又因为，故由二次函数的单调性知不等式等价于即故即不等式的解为：。

【练33】（1）（2005辽宁4月份统考题）解关于的不等式 

答案：当时，解集为当时，解集为  当时解集为。

（2）         （2005全国卷Ⅱ）设函数,求使≥的的x取值范围。

答案：x取值范围是

例34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。（Ⅰ）求与的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意∈（0,2），都有＞0，，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。

【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005年高考主要涉及两种类型应用题，一种类型为概率，另一种为数列。给我们信息：数学越来越贴近生活，数学越来越强调实用性, 我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练；可见，高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、向量等工具结合，这是将来高考的方向，

【解析】（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为

因此即。

 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，，从而由上式得恒等于零, 故即 因为>0，所以.猜测：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.

  （Ⅲ）若b的值使得>0，，由 知 , 特别地，有. 即，而∈(0, 2)，所以，由此猜测b的最大允许值是1. 下证 当∈(0, 2) ，b=1时，都有∈(0, 2), 。 ①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k时结论成立，即∈(0, 2),则当n=k+1时，.又因为.所以∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的，都有∈(0,2).综上所述，为保证对任意∈(0, 2), 都有>0， ，则捕捞强度b的最大允许值是1.

【练34】（2005年全国卷Ⅰ统一考试理科数学）

（Ⅰ）设函数，求的最小值；

（Ⅱ）设正数满足，证明        

答案：（Ⅰ）（Ⅱ）用数学归纳法证明。

（2）（2005高考辽宁）已知函数设数列}满足，数列}满足

 （Ⅰ）用数学归纳法证明；   （Ⅱ）证明

例35、下列命题：

①   ②③   |·|=||·||④若∥∥则∥⑤∥，则存在唯一实数λ，使    ⑥若，且≠，则⑦设是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x、y，使成立。⑧若|+|=|－|则·=0。⑨·=0，则=或=真命题个数为（     ）

  A．1                 B．2          C．3               D．3个以上

【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。………………………………【全文请点击下载word压缩文档】
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