函数奇偶性的认知与延伸 高考专题辅导

纵观中学数学的函数体系，函数象一棵长青的大树：函数的概念是“根”，函数的性质是“干”，函数的重要命题以及基本函数则是树干上生出的主要枝杈.其中，奇函数与偶函数作为对偶范畴，它们一方面相互对立，另一方面又相互依存，相互联系和相互贯通。

　　注意到奇函数与偶函数“本是同根生”亲缘关系，由偶函数性质引出的命题，与由奇函数性质引出的相应的命题，在具有鲜明个性的同时，又会“具有惊人的相似之处”。

　　认知函数奇偶性的本质，揭示函数图象的对称性与函数之间的联系，审题时便会目光犀利，入骨三分；解题时自然转换灵活，得心应手。

　　一、 关于偶函数性质的认知与延伸
　　1、原型：函数f(χ)为偶函数 函数f(χ)的图像关于y轴对称.
　　即　　 对函数f(χ)定义域内每一个χ都有 f(–χ) =f(χ)
　　 　函数y= f(χ)的图象关于直线χ=0对称

　　认知：函数关系式与对称轴方程之间的联系
　　（1）几何角度：数轴上χ与–χ的对应点关于点χ=0对称.

　　（2）代数角度：
　　
　　关系式：f(–χ) =f(χ)，即f(0–χ) =f(0＋χ)
　　对称轴：ｘ=0

　　2、延伸
　　（1）延伸之一：函数图象自身关于直线χ=a对称
　　我们由上述对对称轴χ=0展开联想：直线χ=0可视为直线χ=a的特例.此时，以“χ=a”替代“χ=0”，进而分别以a替代上述等式中的0（f(–χ) =f(χ)即f(0–χ) =f(0+χ)），便得出作为原型之引申的结论1.

　　

　　把握住函数关系式与对称轴方程之间的这一联系，如下结论便应运而生.

　　

　　

　　我们不难证明上述结论正确，上述三个函数图象自身关于直线χ=a对称的结论彼此等价，这为我们解决相关问题时灵活转换，巧妙变通提供了理论的支持.

　　（2）延伸二：两个函数图象关于直线χ=λ对称.
　　“一分为二”与“合二为一”是辩证的统一.不论是字面理解还是哲学意义，“一分为二”与“合二为一”都是既相互对立，又相互依存、相互联系和相互贯通的，注意到上述函数关系ƒ(–χ) =ƒ(χ)等均是两个不同函数 “合二为一”的产物，于是循着 “合二为一” 与“一分为二”的辩证关系，考察各个恒等式两边分别对应的一对函数之间的联系，寻出关于函数图象对称性的另一类结论.

　　（ⅰ）原型：函数y=ƒ(χ)与y=ƒ(–χ)的图象关于直线χ=0对称
　　探究：寻觅上述两个函数与它们图象的对称轴之间的联系，在“合二为一”的形式之下，我们考察的是两式相加，其和与对称轴的联系.循着对立联想的思路，如今在“一分为二”之后，首先想到考察相同位置的两式相减，其差与对称轴之间的联系：
　　

　　（ⅱ）延伸
　　循着延伸之一中结论的顺序，它们各自繁衍出新的不同结论.
　　结论1：
　　

　　结论2：
　　

　　结论3：
　　

　　结论4：
　　

　　例1.设f(χ)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线χ=2对称，已知当χ∈［-2，2］时，f(χ)=－χ２+１，求当
χ∈［-６，－2］时的f(χ)的解析式.

　　解：从进一步认知f(χ)的性质切入，由函数 f(χ)的图象关于直线 χ=2对称知，
　　对任意χ∈Ｒ都有f(-χ)= f(χ+4)（为便于与“f(χ)为偶函数”这一条件建立联系而作出这一选择）
　　又f(χ) 为偶函数

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