聚焦空间几何中的非坐标向量方法 高考专题辅导

随着新课程标准的不断推进，空间想象能力和几何直观能力越来越受到人们的关注，空间向量作为研究空间几何的强有力工具，给空间几何问题的研究注入了新的生机和活力，开辟了很多解题的新途径、新方法、新思路，拓宽了高考对空间几何问题的命题的新空间.因此，将空间向量和空间几何问题综合在一起考查是顺理成章的事情，使得对空间向量的考查不再拘泥于定义和简单运算上，而是以空间向量为工具，通过向量演义证明、推理运算等理性思维来研究空间的平行、垂直等位置关系和求空间的角及空间距离等问题.

　　在近几年的高考中有一种偏颇的现象，空间几何题的标准答案都是一题两法，即坐标向量法和综合法，而非坐标形式的向量法不仅被边缘化，而且几乎有被遗弃的感觉.而在新课程标准中要求学生：掌握空间向量的线性运算和坐标运算；掌握空间向量的数量积和坐标运算.这里的“线性运算”和“数量积”都是指非坐标形式的向量运算.而空间几何的主要任务就是发展学生的空间想象能力和几何直观能力，然而非坐标形式的向量更有利于发展学生的空间想象能力和几何直观能力.为了与新课程标准接轨，应当特别注重非坐标形式的向量方法与教学中的渗透，因而在今后高考试卷的参考答案中应提倡一题三法，让考生充分注意非坐标向量法在解(证)题中的作用.充分体现几何“搭台”向量“唱戏”的说法.

　　利用非坐标形式向量法主要是根据空间向量基本定理找到空间的一组基向量，而基向量的选取是不唯一的，一般选取三个不共面的向量作为基向量.但是由于基向量选取的不同，会有不同的运算效果.下面笔者就非坐标形式向量方法举几个例子，以飨读者.

　　一、选取三个共点且不共面的向量作为基向量

　　当从一点出发的三条不共面的线段长度已知，它们的夹角也是已知或从一点出发的三条不共面的线段长度可以求出，它们夹角也可以求出时，可选择这三条线段所代表的向量作为基向量，用这三个基向量将其它向量线性表示，尔后求解.

　　例1　(2008年安徽理18题)如图1所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点.

　　(1)证明：直线MN∥平面OCD；　　

　　(2)求异面直线AB与MD所成角的大小；

　　(3)求点B到平面OCD的距离.

　　分析 要证明直线MN∥平面OCD，只要证平面OCD的法向量与向量垂直即可；要求异面直线AB与MD所成角，只要求出向量，的夹角，再根据异面直线所成角求出即可；求点B到平面OCD的距离，只要首先求出平面OCD的法向量，再利用公式求出距离即可.

　　解析　选取为空间的一组基向量.

　　(1)∵，

　　设为平面OCD的法向量，

　　则

　　由题易知，，

　　，

　　，

　　取x=1，，

　　∴

[1] [2] [3] [4]  下一页