等腰三角形判定的综合应用

　　问：谁来总结一下这个规律？

　　生：当题目中出现有角平分线和平行线时，题目中要出现一个等腰三角形。以利于做题的推进。

　　（师插话：注意了，平行线是平行于这个角的角平分线本身，或者平行于这个角的一边）。

　　（学生记住一些小结论，做题时有利于迅速找到做题的方向，提高学生的数学素养）

　　生：这是个双胞胎图形。

　　师：说得很好的，在这里，第一个图形，其背上是一个等腰三角形，第二个图形，翻个个儿，其背上也是一个等腰三角形，因此我戏称为“背孩子的图形”。随便怎么记都行。

　　（学生大笑，笑声中学生记住了这个图形、这个结论，课堂气氛也比较轻松、活跃）

　　师：今后我们在解题时，就要有意识的向这个方向去想，要充分的利用好我们总结的规律，要在游泳中学会游泳，在战争中学会战争，（这是毛主席说的），在解题中学会解题，我们的思考能力才能越来越强大。能运用规律来解题，某种情况上说我们已经掌握了这个规律。

　　例 1

　　已知：如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，

　　①过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E。求证：BD＋EC＝DE

　　②过F作FM∥AB交BC于点M，过F作FN∥AC交BC于点N。

　　求证：ΔFMN的周长＝BC。

　　分析：学生读题，思考如何去做。

　　两、三分钟后，大部分学生已经能做出。

　　问：谁来给大家分析一下？

　　生5：由“背孩子图形”立即可得ΔBDF和ΔFEC是等腰三角形，由BD＝DF，EC＝EF。问题得证。

　　师：请每个同学写出过程。

　　证明：∵BF平分∠DBF，

　　　　　∴∠DBF＝∠FBC

　　　　　∵DE∥BC

　　　　　∴∠DFB＝∠FBC

　　　　　∴∠DBF＝∠DFB

　　　　　∴DB＝DF

　　　　　同理：EF＝EC

　　　　　∴DB＋EC＝DF＋FE

　　　　　即：DB＋EC＝DE

　　问：从刚才同学们完成①问，能够感受到规律的威力，第二问如何做？

　　生6：这个图形中，也有两个“背孩子图形”，可得FM＝BM，FN＝NC，问题得到解决。

　　师：今后，我们在思考问题时，按我们的规律进行思考，将大大推进我们对问题的思考。

　　例 2　

　　已知：CE、CF分别平分∠ACB和它的外角，EF∥BC，EF交AC于点D，E是CE与AB的交点。

　　求证：DE＝DF

　　分析：给大家5分钟的时间，认真思考。5分钟后请同学回答。（5分钟，全班已有超过一半的学生能做）

　　生7：这里面仍然包含有两个“背孩子图形”。

　　由出现了角平分线，和平行线，我们很容易得到ΔDEC和ΔDFC是等腰三角形，可得：ED＝DC，DF＝DC。

　　师：很好，请按规律思考。

　　（至此班上大部分学生已经掌握这题的思考规律，同时，理解了我们是如何运用规律的。这些规律不需要去背，学生已经留在了脑海中。）

　　解：∵FE∥BC

　　　　∴∠DEC＝∠ECB

　　　又∵CE平分∠ACB

　　　　∴∠ECB＝∠ECD

　　    ∴∠DEC＝∠DCE

　　    ∴DC＝DE

　　  同理：DC＝DF

　　　　∴DE＝DF

　　例 3

　　已知：如图，点D是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，DE∥BC，DE交AB于点E，交AC于点F。

　　求证：EF＝BE－CF。

　　师：这题留给大家5分钟的时间思考。

　　生8：题目中出现有角平分线和平行线，思考找出题中的两个等腰三角形，能得到ΔEDB和ΔDFC是等腰三角形，有BE＝ED，DF＝CF，问题得到证明。

　　师：请大家写出证明过程。

　　证明：∵BD平分∠EBC，

　　　　　∴∠DBE＝∠DBC

　　　　　∵DE∥BC

　　　　　∴∠EDB＝∠DBC

　　　　　∴∠DBE＝∠EDB

　　　　　∴DE＝BE

　　　　　同理：CF＝DF

　　　　　∴EF＝DE－DF＝BE－CF

　　例 4

　　已知：如图，B、D分别在AC、CE上，AD是∠CAD的平分线，BD∥AE，AB＝BC。求证：AC＝AE。

　　分析：问：能自行解决吗？

　　生9：题中出现有角平分线和平行线，先找出等腰三角形ΔABD，

　　有AB＝BD，又∵AB＝BC，

　　∴有BC＝BD，

　　∴∠C＝∠CDB

　　又∵BD∥AE

　　∴∠CDB＝∠E

　　∴∠C＝∠E

　　∴AC＝AE。

　　师：今后我们做题时，要善于多题归一，我们今天见识了善于发现不同题目中的规律，会给我们带来极大的帮助，增长我们的才能。

　　每课一招：每节课都把自己作导演，让学生做演员，让他们尽情的展示自己吧!把自己的光辉悄悄的隐没于学生的才能之中吧!（这样他们会越来越聪明，越来越喜欢学数学!）

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