14.2 一次函数 教案设计
14.2.1 正比例函数
教学目标
1.认识正比例函数的意义.
2.掌握正比例函数解析式特点.
3.理解正比例函数图象性质及特点.
4.能利用所学知识解决相关实际问题.
教学重点
1.理解正比例函数意义及解析式特点.
2.掌握正比例函数图象的性质特点.
3.能根据要求完成转化,解决问题.
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
学生回答,教师总结
(1)200千米;(2)y = 200x (0≤x≤128);(3)9000千米
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?我们这节课就来学习.
Ⅱ.导入新课
思考
不难得出上面问题中的函数分别为:
(1)l = 2πr;(2)m = 7.8V;(3)h = 0.5n;(4)T = −2t
归纳:我们观察这些函数关系式,不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式,和y=200x的形式一样.
定义:一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,那么它的图象有什么特征呢?
[活动一]
教师活动:
引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述.
学生活动:
利用描点法正确地画出两个函数图象,在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程,并能准确地表达出,从而加深对规律的理解与认识.
活动过程与结论:
1.函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:
画出图象如图①
图① 图②
2.y= −2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:
画出图象如图②.
3.两个图象的共同点:都是经过原点的直线.
不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随x的增大y也增大;经过第一、三象限.函数y= −2x的图象从左向右呈下降状态,即随x增大y反而减小;经过第二、四象限.
总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律:一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们可以称它为直线y=kx.当k>0时,直线y = kx经过第三、一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y = kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.
[活动二]
活动设计意图:
通过这一活动,让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系,完成由图象到关系式的转化,进一步理解数形结合思想的意义,并掌握正比例函数图象的简单画法及原理.
教师活动:
引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手,寻求转化的方法.从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法.
学生活动:
在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化,进一步理解数形结合思想,找出正比例函数图象的简单画法,并知道原由.
活动过程及结论:
经过原点与点(1,k)的直线是函数y=kx的图象.
画正比例函数图象时,只需在原点外再确定一个点,即找出一组满足函数关系式的对应数值即可,如(1,k).因为两点可以确定一条直线.
Ⅲ.小结:
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征,并掌握图象特征与关系式的联系规律,经过思考、尝试,知道了正比例函数不同表现形式的转化方法,及图象的简单画法,为以后学习一次函数奠定了基础.
§14.2.2 一次函数(一)
教学目标
(一)教学知识点
1.掌握一次函数解析式的特点及意义.
2.知道一次函数与正比例函数关系.
3.理解一次函数图象特征与解析式的联系规律.
4.会用简单方法画一次函数图象.
(二)能力训练要求
1.通过类比的方法学习一次函数,体会数学研究方法多样性.
2.进一步提高分析概括、总结归纳能力.
3.利用数形结合思想,进一步分析一次函数与正比例函数的联系,从而提高比较鉴别能力.
教学重点
1.一次函数解析式特点.
2.一次函数图象特征与解析式联系规律.
3.一次函数图象的画法.
教学难点
1.一次函数与正比例函数关系.
2.一次函数图象特征与解析式的联系规律.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
问题:某登山队大本营所在地的气温为
分析:从大本营向上当海拔每升高
y=15−6x (x≥0)
当然,这个函数也可表示为:y= −6x+15 (x≥0)
当登山队员由大本营向上登高
这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同?它的图象又具备什么特征?我们这节课将学习这些问题.
Ⅱ.导入新课
我们先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示?它们又有什么共同特点?
1.有人发现,在20~
2.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h减常数105,所得差是G的值.
3.某城市的市内电话的月收费额y(元)包括:月租费22元,拨打电话x分的计时费(按0.01元/分收取).
4.把一个长
这些问题的函数解析式分别为:
1.C = 7t−35; 2.G = h−105;
3.y = 0.01x+22; 4.y = −5x+50.
它们的形式与y= −6x+15一样,函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.
如果我们用b来表示这个常数的话,这些函数形式就可以写成:
y=kx+b(k≠0)
一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数(linearfunction).当b=0时,y=kx+b即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
[活动一]
活动内容设计:
画出函数y= −6x与y= −6x+5的图象,并比较两个函数图象,探究它们的联系及解释原因.
活动设计意图:
通过活动,加深对一次函数与正比例函数关系的理解,认清一次函数图象特征与解析式联系规律.
教师活动:
引导学生从图象形状,倾斜程度及与y轴交点坐标上比较两个图象,从而认识两个图象的平移关系,进而了解解析式中k、b在图象中的意义,体会数形结合在实际中的表现.
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点.
结果:这两个函数的图象形状都是______,并且倾斜程度_______.函数 y= −6x的图象经过原点,函数y= −6x+5的图象与y轴交于点_______,即它可以看作由直线y= −6x 向_平移__个单位长度而得到;比较两个函数解析式,试解释这是为什么.
猜想:一次函数y=kx+b的图象是什么形状,它与直线y=kx有什么关系?
结论:一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线
y=kx平移b绝对值个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
画出函数y = 2x−1与y = −0.5x+1的图象.
过(0,−1)点与(1,1)点画出直线y = 2x−1.
过(0,1)点与(1,0.5)点画出直线y = −0.5x+1.
[活动二]
活动内容设计:
画出函数y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1的图象.由它们联想:一次函数解析式y=kx+b(k、b是常数,k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?
活动设计意图:
通过活动,熟悉一次函数图象画法.经历观察发现图象的规律,并根据它归纳总结出关于数值大小的性质.体会数形结合的探究方法在数学中的重要性,进而认识理解一次函数图象特征与解析式联系.
目的:
引导学生从函数图象特征入手,寻求变量数值变化规律与解析式中k值的联系.
图象:
规律:
当k>0时,直线y=kx+b由左至右上升;当k<0时,直线y=kx+b由左至右下降.
性质:
当k>0时,y随x增大而增大.
当k<0时,y随x增大而减小.
§11.2.2 一次函数(二)
教学目标
(一)教学知识点
1.学会用待定系数法确定一次函数解析式.
2.具体感知数形结合思想在一次函数中的应用
(二)能力训练目标
1.经历待定系数法应用过程,提高研究数学问题的技能.
2.体验数形结合,逐步学习利用这一思想分析解决问题.
教学重点:待定系数法确定一次函数解析式.
教学难点:灵活运用有关知识解决相关问题.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
我们前面学习了有关一次函数的一些知识,掌握了其解析式的特点及图象特征,并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律.如果反过来,告诉我们有关一次函数图象的某些特征,能否确定解析式呢?
这将是我们这节课要解决的主要问题,大家可有兴趣?
Ⅱ.导入新课
有这样一个问题,大家来分析思考,寻求解决的办法.
[活动]
活动设计内容:已知一次函数图象过点(3,5)与(−4,−9),求这个一次函数的解析式.
联系以前所学知识,你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗?
活动设计意图:
通过活动掌握待定系数法在函数中的应用,进而经历思考分析,归纳总结一次函数解析式与图象之间转化规律,增强数形结合思想在函数中重要性的理解.
教师活动:引导学生分析思考解决由图象到解析式转化的方法过程,从而总结归纳两者转化的一般方法.
学生活动:在教师指导下经过独立思考,研究讨论顺利完成转化过程.概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程.
活动过程及结论:
分析:求一次函数解析式,关键是求出k、b值.因为图象经过两个点,所以这两点坐标必适合解析式.由此可列出关于k、b的二元一次方程组,解之可得.
设这个一次函数解析式为y=kx+b.
因为y=k+b的图象过点(3,5)与(−4,−9),所以
解之,得,故这个一次函数解析式为y=2x−1
结论:
像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.
§11.2.2 一次函数(三)
教学目标
(一)教学知识点
利用一次函数知识解决相关实际问题.
(二)能力训练目标
体会解决问题方法多样性,发展创新实践能力。
教学重点
灵活运用知识解决相关问题.
教学难点
灵活运用有关知识解决相关问题.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式,如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢?
这将是我们这节课要解决的主要问题.
Ⅱ.导入新课
下面我们来学习一次函数的应用.
例、小芳以
分析:本题y随x变化的规律分成两段:前5分钟与后10分钟.写y随x变化函数关系式时要分成两部分.画图象时也要分成两段来画,且要注意各自变量的取值范围.
解:y=
图象:
我们把这种函数叫做分段函数.在解决分析函数问题时,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际.
Ⅲ.小结
本节课我们学习并掌握了分段函数在实际问题中的应用,特别是学习了解决多个变量的函数问题,为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途,使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性.