14．3 用函数观点看方程（组）与不等式 教案设计

一次函数与一元一次不等式

　　教学目标

　　（一）知识认知要求

　　1．认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系；

　　2．学会用图象法求解不等式；

　　3．进一步理解数形结合思想.

　　（二）能力训练要求

　　1．通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识；

　　2．训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力．

　　（三）情感与价值观要求

　　体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

　　教学重点

　　1．理解一元一次不等式与一次函数的转化及本质联系．

　　2．掌握用图象求解不等式的方法．

　　教学难点

　　图象方法求解不等式中自变量取值范围的确定．

　　教学过程

　　一、创设情境

　　我们来看下面两个问题有什么关系？

　　1．解不等式5x＋6＞3x＋10．

　　2．当自变量χ为何值时函数у = 2x－4的值大于0？

　　学生讨论得出：这两个问题实际上是同一个问题．

　　那么，是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象上的表现是什么？如何通过函数图象来求解一元一次不等式？

　　以上这些问题，我们本节将要学到．

　　二、新课讲授

　　我们先观察函数у = 2x－4的图象．可以看出：当x＞2时，直线у = 2x－4上的点全在x轴上方，即这时у = 2x－4＞0．

　　由此可知，通过函数图象也可求得不等式的解x＞2．

　　由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式ax＋b＞ 0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数у = ax＋b的值大于 0”之间的关系，实质上是同一个问题．

　　由于任何一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作，当一次函数值大于或小于0时，求自变量相应的取值范围．

　　三、典型例题

　　用函数图象的方法解不等式5x＋4＜2x＋10．

　　引导学生通过画图、观察、寻求答案，并能通过两种不同解法，得到同一答案，探索思考总结归纳出其特点．

　　解法1：原不等式化为3x−6<0，画出直线y = 3x−6(图1)，可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方，即这时y = 3x−6<0，所以不等式的解集为x<2．

　　解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y = 5x+4与y = 2x+10(图2)，可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y = 5x+4上的点在直线y = 2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为x<2．

　　以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低．

　　四、小结：

　　1．一次函数与一元一次不等式的联系．

　　2．图象上的不等式

　　五、活动与探究：

　　作出函数y₁=2x－4与y₂=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：

　　（1）x取何值时，2x－4＞0？

　　（2）x取何值时，－2x+8＞0?

　　（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？

　　（4）你能求出函数y₁=2x－4，y₂=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．

　　解：图象如下：

　　分析：要使2x－4＞0成立，就是y₁=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y₂=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积．

　　［解］（1）当x＞2时，2x－4＞0；

　　（2）当x＜4时，－2x+8＞0；

　　（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立；

　　（4）由2x－4=0，得x=2

　　由－2x+8=0，得x=4

　　所以AB=4－2=2

　　由

　　得交点C(3，2)

　　所以三角形ABC中AB边上的高为2

　　所以S=×2×2=2．