2009年普通高校招生考试重庆数学试题评析与教学指导意见

2009年普通高校招生考试重庆数学试题评析与教学指导意见

重庆市教育科学研究院   张晓斌　400015

一、命题范围及试卷结构

本次考试的命题范围是全日制普通高中数学必修课和选修课的全部内容。本次试题充分考虑了文理科学生的实际情况，拉大了文理科试题的差异，既体现了个性，也体现了共性，文理科试题差异个数见下表。

文理科试题差异个数

本次试卷结构和分值分布文理科完全相同，与去年比较，有一定变化，且分值安排偏向于学生容易得分的题目，参见下表。

二、命题原则及指导思想

今年重庆高考数学试题，按照国家教育部考试中心2009年制定的《数学考试大纲》的要求，严格遵循现行中学数学教学大纲的规定，力求发挥三个有利——有利于高校选拨优秀人才，有利于全体学生正常发挥水平，有利于指导中学数学教学。充分体现“以四基为本，深化能力立意，积极改革创新，注重导向作用”的命题指导思想，并希望能对中学数学教学如何实施素质教育和培养学生创新意识与实践能力方面产生良好的影响。

三、试题的特点

1.突出数学本质，注重数学思想方法的考查

本次考题不偏不怪，常规常见，题面叙述平适近人，数学味较浓，淡化非数学成分，不少试题体现了对数量关系和空间形式的要求，突出了数学本质的考查。着重考查了《数学考试大纲》中所要求的几种重要的数学思想方法，如函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想、运动变换思想等。如文科第1、5、9、10、12、15、16、19、20题，理科第1、5、8、10、12、15、16、18、20题就要用到函数与方程的思想去解决；文科第1、9、10、15、16、18、20题，理科第1、5、9、10、15、16、19、20、21题就可用数形结合思想去解决；文科第8、9、17、21题，理科第6、10、13、17、18、21题就用到分类与整合的思想；文科第20、21题，理科第14、21题考查了特殊与一般的数学思想方法；文科第21题，理科第8、21题考查了有限与无限的思想；文科第8、17题，理科第6、17题渗透了或然与必然的思想；而化归与转化的思想几乎渗透到了每一个题之中。今年的一个显著亮点是对运动变换思想进行了重点考查，如文理科第10、16（2）、20（2）题等。

2.体现以知识为载体，能力为中心的考查

中学数学中所学的基础知识、基本技能和基本数学思想方法是学生继续深造的基础，也是培养学生数学能力的前提。本次文理试题各个题目都是以相应的基本知识为载体的，不可能脱离基础知识而独立存在，因而所有的题目都体现了对基础知识的考查。基本技能是指对变形、代换、推理、计算等技巧所掌握的熟练程度，如文理科选择题的前8个，文理科填空题的前4个，文理科解答题第16、17、18（1）、19（1）、20（1）、21（1）题，只要平时基础扎实的学生都能快速作答。特别对重点知识函数、数列与不等式、三角、概率统计、解析几何、立体几何进行了重点考查，如下表所示。

这次考试题以逻辑思维能力为核心，对学生的数学能力、创新意识和实践能力进行了较为全面的考查，并能体现对数学理性思维的考查。考查了思维、运算、应用等几方面的能力，着重考查学生的理解、判断、分析、转化的能力，有的题目综合程度较高，解题思路清新，侧重考查学生的数学思维与创造能力以及解决实际问题的能力，需要学生在知识理解和方法掌握的基础上，综合思考，灵活解题。例如文理科第9、10、15、20、21题等。

3.以重点知识为核心，突出数学学科自身内容的基本联系

从上表可以看出，这次试题覆盖考试范围的知识点比较多，几乎涉及所考范围的全部知识点，文理科仅有线性规划和球的内容未出现。本次试题力求从整体的高度去设计试题，以重点知识为核心，努力在几个知识层面的交汇处命题，以检验学生能否形成一个有序的网络化知识体系，并从中提取相关的信息，灵活地解决问题。文理科选择填空题一般涉及2－5个知识点，解答题涉及的知识点更多。如文科第10题以函数为依托，主要考查了函数图象的平移、一元二次方程、不等式恒成立及利用导数求函数的最值，同时考查函数与方程的思想、化归与转化的思想等；理科第10题以函数为主线，主要考查函数的周期性、分段函数、直线与椭圆的位置关系等，同时考查数形结合的思想、化归与转化的思想以及对学生的运算能力提出了较高要求。文理科第15题以椭圆、双曲线为背景，主要考查椭圆和双曲线的定义、离心率、几何性质，不等式的解法，同时考查化归与转化的思想、方程的思想、数形结合的思想及逻辑思维能力。文理科第16题以三角函数内容为核心，主要考查同角三角函数基本关系、二倍角及两角和差的三角公式、三角函数的周期性、单调性、对称性和图象平移，以及考查转化的思想、运算能力与综合分析、解决问题的逻辑思维能力。文理科第17题以实际问题为背景、以概率统计知识为核心，主要考查对立事件、相互独立事件的概率、独立重复试验、离散性随机变量的分布列（二项分布）与期望，以及考查综合计算方法和能力。文科第19题和理科第18题以函数内容为核心，主要考查函数的奇偶性、导数的几何意义、利用导数研究函数的极值与单调性以及不等式的基础知识，同时考查了分类讨论思想、转化思想及逻辑思维能力。文科第18题和理科第19题抓住了立体几何内各主要知识点的基本联系，主要考查三垂线定理、二面角、空间直线与平面的垂直与平行的判定与性质定理的应用，以及考查空间想象力、逻辑思维能力及转化的思想，或考查利用空间向量求解距离和角。文理科第20题以解析几何的内容为核心，主要考查双曲线和椭圆的定义、标准方程、几何性质、圆的方程、中点坐标公式、平面向量的基本运算、不等式的性质，同时考查转化的思想、方程的思想、数形结合的思想等数学思想及“待定系数”、“设而不求”与“整体消元”的方法，对学生的运算能力也提出了较高要求。文理科第21题以数列与不等式的交汇为纽带，构建成高考综合解答题作为压轴的典型试题，往往难度较大，主要考查等差数列与等比数列关于通项及前 项和的基本运算、递推数列、不等式性质、绝对值不等式、均值不等式的应用，同时考查转化思想、方程思想、分类讨论思想及反证法、放缩法，考查逻辑思维能力、运算能力和创新意识。以上这些题目都较好地凸现出在数学学科各知识点的交汇处命题的基本思想，虽不刻意追求知识覆盖面，但在各知识点交汇处命题，突出能力立意这也是我们今后命题的一个非常重要的方向。

4.引导师生关注当地现实，体现数学实际应用

这次考试题文科第8、13、17题和理科第6、13、17题都是关于排列、组合、概率与统计的实际应用问题，共计23分，所占比例适当，问题背景涉及当前重庆现实的有：大学生到乡镇当村官、移栽大树来绿化环境；贴近学生生活实际的有：篮球队的分组、排队中的不相邻、舀取汤圆个数等。这些问题对数学建模的要求适当，难度与运算量较为适度，较好地体现了考查数学应用的功能，对学生的阅读理解能力有较高要求。同时可以检测学生理解新事物、新信息的能力，增强学生应用数学的意识，充分体现了对学生实践能力的要求。

5.梯度区分度较合理，有利于大多数学生正常发挥水平

本次数学试题文科平均70.57分，及格率34.44%，优生率3.64%，理科平均84.40分，及格率45.92%，优生率6.83%。理科满分1人，文科无满分获得者，文科学生分数集中在30分至110分之间，理科学生分数集中在60分至120分之间，这些数据说明今年高考数学试题的区分度是较为合理和理想的。需要说明的是文科考生在去年的基础上增加了五千人左右，因此文科试题平均分不高，略为偏难。从整套试题来看中档题居多，基础题偏少，难题偏难，因此这既符合考纲中全卷应以中等题为主的方针，又大大提高了全卷的区分度。选择题中文科的前6个，理科的前7个，填空题中文理科的前4个，解答题中文理科的前2个是较为容易的题目。文理科选择题最后2个，填空题最后1个，文理科解答题倒数两个的第2小题都是有一定难度的，而且不少解答题（1）小问容易，（2）小问较难。严格遵循考试大纲，注重基本知识、基本技能和基本的数学思想方法的考查，大多数题目是常规常见题，较好的体现了循序渐进，入手宽，深入难，分步设防，多层次，多题把关的设题思路，使不同层次的学生都能下笔答题，获得较为理想的成绩，这样区分度才会自然提高。应该说这是今后高考命题在难度控制上的一个参照。

6.注意纵向横向联系，体现初高中、新旧课程内容的衔接

今年高考试题紧密结合初高中课改进程，汲取了新课程中的新思想、新理念，并注意从内容上相衔接。第一，注重对新增内容的考查，特别是对新课改要求比较高的内容的考查。如文理科第4题和理科第7、20（2）题是对平面向量的有关内容进行考查；文科第14题和理科第17（2）题是对统计内容进行考查；文科第8、17题和理科第6、17（1）题是对概率的内容进行考查；文科第10、19题和理科第8、18题是对导数及其应用与函数极限的相关知识的考查，更为重要的是考纲中“理解可导函数的单调性与其导数的关系”得到了重点体现。新增内容文科分值约占40分左右，理科分值约占53分左右，比例远远高于在平常教学课时中所占比例，其中统计与概率、导数、极限这些内容在当今小学、初高中的新课改中是要求相当高的。第二，注意初高中新课程对图象变换、函数与方程等内容的要求。初中旧教材对图形变换要求较低，现在初中数学新课程对图形的平移、对折（对称）、旋转、相似等变换作了高要求，不仅从几何的角度去研究，还从坐标的角度去研究这些变换，为我们高中数学学习打下了坚实的基础；高中数学新课程对函数与方程的内容比过去要求更高，要求学生了解函数的零点与方程根的联系，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解等。上述这些内容在这次考题中都有所体现，如文理科第10题不仅体现了对图象变换的考查，而且体现了对函数的零点与方程根的联系的考查，对图象变换内容考查的还有：文科第16（2）、20（2）题，理科第9、16（2）、20（2）题，突出了对运动变换思想的考查，加大了“变”与“不变”的转换，提高了空间思维的含量，不避免地增加了解决这些问题的难度。第三，注意与初中数学新课程的内容相衔接，尽量在高考题中不出现初中未学过内容的运用。如立方和（差）公式、高次方程（组）的求解、分组分解法等等。

四、改进命题工作的几点思考

1.起点题的难度偏高，全卷运算量较大。这次送分的基础题是常规常见题，但考查的知识点较多，且每道题都有一定量的运算，致使相当一部分学生在前面花费了不少时间，后面能够解决的一些问题因时间不够而望题兴叹。如文科第1题（选择题第一题）平均3.94分，比后面的第2、3、4题的平均分都低，文科第11题（填空题第一题）平均3.07分，比后面的第12题的平均分低，文科第16题（解答题第一题）平均6.84分，比后面的第17题的平均分低，理科的第2题（选择题第二题）平均4.47分，比后面的第3、4题的平均分低，理科的第16题（解答题第一题）平均7.98分，比后面的第17题的平均分低，这些充分说明，起点题的分数要送就送到手，不要害怕题简单，毕竟存在大量中下学生参加高考。另外，这次考题对学生的运算水平进行了一次大检验，算得有点叫人难受，有用运算量来增加难度的感觉。如文科除第2、11题外，理科除第1、9题外，其余每道题都有一定量的运算，有些题的运算量真是不算不知道，一算吓一跳。如文科第8、9、15题和20题的求 点的坐标等，理科第6、10、15、20（2）题等。希望今后能够控制每个题的运算量，增大思考的力度，不在运算上兜圈子，多设置一些“一眼望穿”的有一定思维含量的题目。

2.个别知识点考查过多，有重复考查之嫌。本次考试对组合内容、平面向量的数量积考查较多，两次出现“至少”一词。如理科第6、13、17题都对组合内容进行了考查，且理科第6、13题都出现了“至少”一词，理科涉及平面向量的数量积有第4、7、20（2）题。由此建议尽量在同一试卷中避免同一知识点的多次考查。

3.少数题目结构不尽合理，有画蛇添足、人为制造难度之嫌。如文科第20题的第2小题本来求 的最小值就行了，但还要求学生求此时 点的坐标就显得多余了，并且求解 点的坐标并非易事，要解二元二次方程组 运算量较大，其结果也不简捷，况且初中数学新课程对二元二次方程组也不作要求了。又如理科第20题的第1小题要先求出已知椭圆的方程，才能求 的最大值，而 的最大值与本题第2小题毫无关系，但椭圆的方程对第2小题有直接影响，因此，本题不如把第1小题改为求椭圆的方程，这样设计就显得题目结构和谐完美。

4.文理科填空题、立几解答题难度偏大，压轴题的难度可适当再降低。文科填空题没有一个题的难度值在0.7以上，后面三个填空题难度值在0.5以下，难度值最低为0.01，难得不可想象；理科填空题后面三个的难度值都在0.5以下，难度值最低为0.08，也不令人满意。文科立几第18题难度值为0.25，其难度与压轴题的难度相当，这也是文科学生的空间想象能力较差所致；理科立几第19题难度值为0.44，也不容乐观。文科第20、21题的难度值分别为0.24、0.18；理科第20、21题的难度值分别为0.30、0.07，这些说明文理科最后两个解答题的难度值都在0.3及以下，特别是理科最后一题属超难题，有形同虚设之感。实际上，今年文理科第20题的难度已经是最后压轴题的难度了，建议今后文理科最后一道压轴题的难度能够保持在0.2左右就较为理想了。

五、统计数据

下面统计数据均不包括零分和缺考人数。通过近三年统计数据的各项指标来看，文理科数学试题有逐年难度加大的趋势，要实现重庆卷在难度上保持相对稳定的目标，还有待命题者们继续努力。从统计表中还看到今年文、理科试卷整体的信度较高，标准差适中，区分度较好，但个别题目需调整完善。如文科的第8、9、10、14、15题和理科的第9、10题区分度明显偏低。

表一：文科选择题统计数据表

表二：理科选择题统计数据表

表三：文科填空题统计数据表

表四：理科填空题统计数据表

表五：文科解答题统计数据表

表六：理科解答题统计数据表

表七：文理科数学成绩分段人数统计表

表八：文理科数学全卷成绩统计数据表

六、对中学数学教学的几点建议

1.学习《数学科考试大纲》，明确要求

通过学习《考试说明》，明确考试的性质、内容、形式与基本结构。研究每一年《考试大纲》的变化及对高考试题的影响。特别是重庆将发布的有关《考试说明》是我们复习备考的重要依据，要逐条落实考试内容，有针对性的培养综合考试所要求的五种能力，即思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。同时要明确今年高考在内容、难度和题型要求上将要发生的变化，哪些内容被删去了，哪些内容降低了要求，哪些内容是增加的，都要做到心中有数。另外注意教育部颁布的普通高中《数学课程标准》，将引领数学教学改革与高考改革的方向。

2.精心研究新教材，有的放矢

与旧教材相比较，新教材增加了简易逻辑，平面向量，概率与统计，函数极限与导数等内容，删减了幂函数，指对数方程，三角函数中的部分公式及反三角函数，指对数不等式与无理不等式，复数的三角形式，坐标平移，参数方程与极坐标方程等旧教材中学生普遍感到学习困难的内容，对不等式的证明，立体几何中的论述，解析几何中的圆锥曲线性质等热点内容的教学要求也有所降低；高三文科选修Ⅰ，理科选修Ⅱ的内容也有很大的差异，教学目标也极不相同；新教材同时还增加了实习作业、阅读材料、研究性学习课题等三块内容，这些极有可能成为高考数学命题的背景材料。近年高考数学试题紧密结合新教材内容，新增加的内容占了很大的比例，一般都高于它们在课时中所占的比例，而且要与传统内容相结合命题，如函数的极限、导数（利用导数可确定函数的单调性和最值）与函数的传统内容相结合，平面向量与解析几何相结合，简易逻辑与函数、不等式、方程等的结合，线性规划与函数、不等式、方程的结合，概率统计与排列组合的结合等。

3.强化“四基”的教学与训练，夯实基础

所谓“四基”就是指基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本数学活动经验，从今年高考数学试题可见“出活题、考基础、考能力”仍是命题的主导思想。因而在复习时应加强“四基”的教学与训练，不要急于求成，好高骛远，抓了高深的，丢了基本的。复习基础知识一是简单的重复，即把知识按原来的顺序简明扼要地重新反思一遍；二是再设计的重复，即抓住本学科内各部分内容之间的联系与综合进行重新组合，使学生对所学知识的认识形成一个较为完整的结构，达到“牵一发而动全身”的境界。强化基本技能的训练，克服“眼高手低”现象，主要在速算、语言表达、解题、反思矫正等方面下功夫，尽量不丢或少丢一些不应该丢失的分数。注重基本数学思想方法在日常训练中的渗透，逐步融入到学生的“血脉”之中，才能提高学生的思维能力。注意与初高中数学新课程接轨，设计一些考查学生动手操作的试题，让学生积累解决问题的一些外显的操作活动经验和内隐的思维活动经验，从活动过程中亲身体验寻找解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力。从今年高考试卷中学生发生的错误来看，也主要是“四基”的训练未落到实处。

4.掌握正确的复习方法，提高效率

数学总复习一般要经历三个阶段，第一阶段是把课本上的所有高考内容系统复习一遍；第二阶段可搞些专题复习；第三阶段进行综合训练（适应性训练）。在临考前做到三个回归，即回归教材，回归基础，回归近几年的高考题。在复习备考的整个过程中，始终要关注以下五个问题：⑴立足基础，教会学生学习；⑵依纲据本，注重新增内容的复习；⑶着眼能力，抓好应用题、开放题（探索题）的训练，增强学生的实践意识和创新意识；⑷交出“权力”，多给学生留出时间，倡导自主学习，营造自主探索和合作交流的环境；⑸精选习题，强化审题和分析，联系地运动地观察、分析、思考问题，提高学生解决问题的能力；⑹重视多次“反馈”，及时弥补学习上的缺漏；⑺分类指导，加强后期复习的针对性。

5.加强个性品质的培养，调整心态

在重大考试中，平时成绩不错的学生往往发挥不出高水准，特别是遇到难题在前的情况时，更是心慌意乱，丈二和尚摸不着头脑，连最基本的东西全都搞忘了，甚至晕场。这些情况在数学考试中尤其如此，因此在平时的复习中，要重视学生心理素质的培养，介绍一些迎考常识，讲究先易后难的做题方法，不要掉在一棵树上爬不出来；要保持稳定的学习状态，尽量避免忽高忽低，不变应万变，以良好的心态迎接高考的到来，树立积极的情感、态度和价值观，这也正是考纲中的要求。