用基本不等式求最值常见一般方法 高考专题辅导

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　　例4．边长为a的正方形铁片，在其四角剪去相等的小正方形后，折成一个方盒。问剪去的尺寸为多少时，小方盒有最大容积。

　　解：设剪去的小正方形边长为x，则小方盒边长为a-2x，又其高为x，

　　故小方盒容积为V=(a-2x)2x，而4V=4x(a-2x)2≤,
　　故当4x=a-2x,时，有。

　　例5．若a≥b>0，求的最小值。

　　解：。

　　说明：本题两次用到基本不等式，第一次在条件2a-b=b即a=b时取等号，第二次在条件即a=2时取等号，并不矛盾，解法正确。

　　（2）取倒数或作平方

　　例6．周长为定值时，哪种三角形面积最大？

　　解：据海伦公式，三角形的面积，这里。
　　显然，同理p-b>0,p-c>0，

　　故S2=p(p-a)(p-b)(p-c),

　　即，等号在p-a=p-b=p-c即a=b=c时成立，即周长为定值时，等边三角形面积最大。

　　（3）待定系数法

　　例7．总长为24m的铁丝剪成若干段，焊成一个长方体容器的框架。若底面长方形邻边之比为3∶2，试问长方体的高为多少时，其容积有最大值。

　　分析：设底面长方形较长的一边为x，则其邻边长为，设长方体高为y，则有，即，故知x∈(0,3.6)为函数的定义域。

　　虽说为定值，但使等式成立的x却不存在，为此，需采用其他办法。

　　解法1：由于，所以

　　
　　　　

　　故得

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