用基本不等式求最值常见一般方法 高考专题辅导

借助基本不等式：

　　或，a,b∈R+；

　　或，a,b,c∈R+。

　　求函数的最大值或最小值，在确保“各项为正”的前提下，还必须满足两点：

　　第一，求和的最小值时，它们的积应为定值；求积的最大值时，它们的和应为定值。

　　第二，使上述不等式中的等号成立时的自变量为一个确定的值，且在该函数定义域内。

　　要满足上述两点，在运算过程中，必须对式子作适当的恒等变形，方能达到目的。本文分析用基本不等式求最值容易产生的错误，并归纳一般方法。

　　1．常见致错原因分析

　　例1．若x>0，求的最小值。

　　解法1：由于，故知Pmin=1.

　　说明：以上解法是错误，虽说满足了“积为定值”这个条件，但使等号成立的先决条件：却不成立。正确解法如下：

　　解法2：∵ ，

　　∴ 。

　　在即时，有。

　　说明：以上求解中采用了“变换系数”的办法，使得“第一”， “第二”两个条件都得以满足。“变换系数”是变形中的常用方法之一。

　　例2．已知x,y∈R+,且2x+y=4，求的最小值。

　　解法1：由2x+y=4，知y=4-2x，∴x∈(0,2)，故，

　　而x(4-2x)在x=1时有最大值2，故有最小值，

　　所以在x=1∈(0,2)时，有最小值。

　　说明：以上解法是错误的。其一，的积不是定值；其二，要取得等号，必须，即x=y。而当x=y=1时，与条件2x+y=4相悖。

　　解法2.由2x+y=4,得

[1] [2] [3] [4]  下一页