11.4全等三角形小结与复习教学设计

小结与复习  教学设计

教学设计思想

以小组讨论的形式通过学生的合作交流总结出本章的知识结构，然后回答出回顾与反思中的几个问题。最后通过一些配套练习巩固所学的知识点。

教学目标

知识与技能

总结出三角形全等的条件及性质；

能灵活地运用三角形全等的条件及性质，进行有条理的思考和简单的推理，并能利用三角形的全等解决实际问题；

会作已知角的平分线，总结出角平分线的性质及判定，能运用角平分线的性质及判定证明两个角相等或两条线段相等。

过程与方法

以小组讨论的形式对本章的知识进行系统梳理，总结出本章的知识点。

情感态度价值观

体会数学与实际生活的联系。

教学重点和难点

重点是①三角形全等的条件、角的平分线的性质；②能利用①中的知识点解题。

难点是能灵活运用三角形全等的条件及角的平分线的性质解题。

教学方法

小组讨论法

以小组为单位，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的内容。

课时安排

1课时

教学媒体

多媒体

教学过程设计

一、知识结构

二、回顾与思考

1.举一些全等形的实际例子。全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？

2.一个三角形有三条边，三个角。从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定的？哪些是不能够判定的？

3.学习本章内容，可以解决一些实际问题，例如长度与角度的度量问题，就是从全等三角形对应边相等，对应角相等出发，设法形成满足全等条件的两个三角形，从而得到结果。

4.学了本章，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗？

5.你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？

三、例题

1.如图11—1，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，E、F在AC上。

求证：∠DCF=∠BAE。

解析  因为∠BAE和∠DCF分别在△BAE和△DCF中，所以只需证明△DCF≌△BAE。

答案  因为DF∥BE，所以∠DFA=∠BEC。所以∠DFC=∠BEA（等角的补角相等）。

因为CE=AF，所以CE－FE=AF－FE，即CF=AE。

在△DCF和△BAE中，

所以△DCF≌△BAE（SAS）。

所以∠DCF=∠BAE（全等三角形的对应角相等）。

方法规律：全等三角形是证明角相等的重要方法。

2.如图11—3，RtABC中AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD，且交BD的延长线于E，则BD与2CE有何关系？说明理由。

解析  解决此题的关键在于如何表示2CE，观察到∠1=∠2，BE⊥CE。

若将CE和BA分别延长相交，可得全等三角形。2CE即可用其他线段表示出来，然后设法建立与BD的联系。

答案

BD=2CE。理由如下：

延长CE交BA的延长线与F。在△BEF和△BEC中，

所以△BEC≌△BEF（ASA）。

所以CE=EF。所以CF=2CE。

因为∠BAC=90°，所以∠1+∠F=∠F+∠FCA。所以∠1=∠FCA。

在△BAD和△CAF中，

所以△BAD≌△CAF（ASA）。

所以BD=CF（全等三角形的对应边相等）。

因为CF=2CE，所以BD=2CE。

方法规律：全等三角形是研究线段间关系的重要工具。

3．已知：如图11—6，AB∥CD，DE＝BF，AB＝CD．

求证：AE∥CF．

解析  要证AE∥CF，只需证出∠E＝∠F，因此只要证得△ABE≌△CFD即可．

答案  因为DE=BF，所以DE－BD=BF－BD，即BE＝DF．

因为AB∥DC，所以∠ABD=∠CDB．所以∠ABE＝∠CDF．

在△ABE和△CFD中

所以△ABE≌△CFD（SAS）．

所以∠E=∠F，所以AE∥CF．

方法规律：由平行线的判定条件知，全等三角形也是论证两条直线平行的重要方法．

4.如图11—7，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF=FE，则AF与DE垂直吗?请说明理由．

解析若AD＝AF，则可证△ADF≌△AEF，所以可得∠AFD＝∠AFE=90°．因此应设法证明AD＝AE。

答案AF⊥DE成立，理由如下：因为AB＝AC，∠BAC＝90°，所以∠B＝∠ACB=45°．因为EC⊥BC，

所以∠ECD=90°．所以∠ECA＝45°．所以∠ECA＝∠B。

在△ABD和△AEC中，

所以△ABD≌△AEC（SAS）．

所以AD=AE．在△ADF和△AEF中，

所以△ADF≌△AEF（SSS）．

所以∠AFD=∠AFE＝90°．

所以AF⊥DE．

方法规律：全等三角形也是证明两条直线垂直的重要方法．

5.在一次战役中，如图11—8所示，我军阵地与敌军阵地隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一种方法：

他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．

（1）你能解释其中的道理吗?

（2）按这个战士的方法，找出教室或操场与你的距离相等的两个点，并通过测量加以验证．

解析  这个战士其实是应用了全等三角形的条件——“ASA”，如图11—9，△ABC≌△A′B′C′，则BC＝B′C′．

答案  （1）根据题意画出示意图11—9．由题意知，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′=90°，AB＝A′B′．

所以△ABC≌△A′B′C′（ASA）

所以BC＝B′C′．因此测出B′C′的长即为BC的长．

（2）在具体操作时，可用一张纸或一本书代替帽檐，按照战士的方法，测一下教室或操场与观察者的距离，从而进一步检验战士做法的合理性．

经验技巧：将实际问题转化为数学问题，建立数学模型——全等三角形。实际应用题是近几年中考命题的重点，平时应多训练，提高建模能力。

四、小结

引导学生总结出本节的主要知识点。

五、板书设计

小结与复习 知识结构 回顾与反思 例题