用研究性学习指导数学活动课

　执教者：黑河市建新中学董名汉
　　指导者：黑河市教育进修学院 李明
　　组织者：黑河市教育进修学院 李明刘莉莉
　　
　　（人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册第120页数学活动.）
　　
　　一、提出问题，激发探究欲望
　　
　　（探索二元一次方程组的图像解法，再认二元一次方程.）
　　（多媒体显示两个方程：①x－y＝0 ；②x＋y＝2.）
　　师：请看大屏幕，这两个二元一次方程各有多少个解？你能把它们的一个解用平面直角坐标系中的点表示出来吗？请动手画一画.
　　（学生已经能够熟练找出二元一次方程的解，并且已经具备了平面直角坐标系的有关知识，这里教师提出一个新的问题，意在制造认知冲突，充分激发学生的探究欲望.）
　　（全班学生认真地在坐标纸上描点，教师在各组间巡视，不时对需要帮助的学生进行指导.不一会儿，就有不少学生举手了.）
　　师：看来有不少学生已经找到了解决问题的办法，哪位同学愿意作“第一个吃螃蟹的人”？
　　生A：我先写出了方程的三个解，然后把x的值作为横坐标，把y的值作为纵坐标，就能够在平面直角坐标系中描出相应的点了，这样就可以用平面直角坐标系中的点来表示二元一次方程的解了.
　　师：你的想法很好，其他同学还有别的想法吗？
　　（教师刚说完，就有一名学生举手了.）
　　生B：我有一个疑问，按照A同学的作法，只能在平面直角坐标系中描出有限个点，而二元一次方程有无数个解，怎样才能把一个二元一次方程的解全部用平面直角坐标系中的点表示出来呢？
　　（一语道破天机！学生已经把活动的内容都替我想好了，真是妙不可言!）
　　师：你提出的问题很有价值！这正是我们这节课首先要研究的问题.请同学们多写出几个二元一次方程的解，再在平面直角坐标系中描出它们相应的点，观察你描出的点，你有什么发现？
　　（学生都很仔细地动手描点，那专注劲儿就不用说了，还有几个小组的学生在彼此交流自己的想法呢！）
　　
　　二、大胆猜想，引导发现结论
　　
　　师：好了，大家都已经画出了相关图形，现在就请你们把自己发现的规律说一说.
　　生C：我在平面直角坐标系中描出了方程x－y＝0的一部分解，并且过其中的两个点画了一条直线，我发现我描出的点都在同一条直线上，这条直线经过原点，而且平分第一、三象限的夹角.
　　生D：我觉得这条直线上所有点的坐标都是二元一次方程x－y＝0的解.
　　师：何以见得？
　　生D：我在这条直线上找了一个点（6，6），然后把x＝6，y＝6代入方程x－y＝0中，方程的左右两边的值相等.
　　师：除了坐标为整数的以外，还有吗？
　　生E：有,例如点（5.5，5.5）的坐标也满足方程x－y＝0.
　　师：你们还有其他的发现吗？
　　生F：我还发现以方程x－y＝0的解为坐标的点都在我画的这条直线上，例如，我取x＝4.5，y＝4.5，然后描出点（4.5，4.5），这个点恰好在所画的直线上.
　　师：好！大家通过自己(加重语气)动手描点、画直线，观察、探究出了一些规律，哪位同学能够把同学们的发现给予归纳？
　　生G：我认为以二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上，而且这条直线上任意一点的坐标都是这个二元一次方程的解.
　　师：说得非常好！
　　（教师的话音未落，教室里已是一片掌声.）
　　师：我们把刚才所描的点的全体叫做二元一次方程x－y＝0的图像，那么方程x－y＝0的图像会是什么呢？
　　生：直线！（众生齐答.）
　　师：刚才同学们都是以方程x－y＝0为例来阐述的，对于方程x＋y＝2是否也有同样的结论呢？
　　生：有！（学生一起回答.）
　　师：B同学，通过刚才的分析，你的疑惑解开了吗？
　　生B:老师，我明白了.既然二元一次方程的图像是直线，而直线上有无数个点，这些点的坐标都是二元一次方程的解，这样就把二元一次方程的无数个解都在平面直角坐标系中表示出来了.
　　
　　三、应用结论，探索形成方法
　　
　　师：二元一次方程的图像是直线，要快速地画出一个二元一次方程的图像，采取什么方法好呢？
　　（教师的问题一出，学生就七嘴八舌地说开了，教师微笑着倾听学生的争论……）
　　生H：只描一个点就行了.
　　生I：不是，要描两个点，因为两点确定一条直线.
　　（生I的话音刚落，生H就据理力争.）
　　生H：只要描一个点，然后过原点画直线就行了.
　　生J：我不同意H同学的观点，我画出的方程x＋y＝2的图像就没有过原点.
　　师：看来大家还有话要说，就请你们在小组内进行讨论，究竟采取什么办法最好.
　　（学生在彼此交流着、讨论着，有些小组的学生还在争论.）
　　师：大家找到最好的办法了吗？
　　生K:我组认为最好描两个点，而且我们还认为画方程x－y＝0的图像时，最好描（0，0）和（1，1）这两点，因为计算简单；画方程x＋y＝2的图像时，最好描（0,2）和（2，0）这两点，因为这两个点在坐标轴上，描点方便.
　　师：你的解释太精彩了！这样看来，只要同学们多观察、多思考，就一定能发现有价值的可以推广的规律，说不定将来就要学习各位发现探究出来的知识呢！（学生高兴地笑了）经过刚才的探究，我们可以看出：二元一次方程的图像是直线，直线上有无数个点，而二元一次方程有无数个解，无数个解与无数个点，真是“天作之美”!请看大屏幕.
　　
　　
　　【“数学课程标准”强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验.在这个环节的活动中，执教者从学生已有的知识经验出发，让学生通过动手描点、画图、观察、讨论，自己推测可能得到的结论，从而培养学生直觉猜想的能力；同时，让学生进行交流、辩论，完善认知结构，让其经历前人发现数形结合这种数学思想方法的思维历程，增长了学生的智慧，培养了学生良好的思维品质.】
　　
　　四、动手实践，发现猜想
　　
　　（研究二元一次方程组的图像解法.）
　　师：未来的科学家们，现在就请你们利用我们刚才发现的结论，在同一个平面直角坐标系中画出二元一次方程组2x+y=4x-y=-1中两个二元一次方程的图像，根据图像你能得出这个二元一次方程组的解吗？
　　（有了前面探究的经历，学生很快画好了图像，有几个学生主动拿着自己画好的图像和教师交流.）
　　师：看来，大家借助前面得到的结论已经画好了图像，就请同学们把各自的想法在小组内交流，我们看哪些小组把问题研究得最好.
　　（教师在各小组巡视，参与讨论，并指导有困难的学生进行观察、研究，学生最善于讨论，有些小组的学生还在争论呢！）

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