11．3　角的平分线的性质 教案设计

角的平分线的性质（二）

　　教学目标

　　1．角的平分线的性质.

　　2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

　　3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

　　教学重点

　　角平分线的性质及其应用．

　　教学难点

　　灵活应用两个性质解决问题．

　　教学过程

　　Ⅰ．创设情境，引入新课

　　拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

　　分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．

　　Ⅱ．导入新课

　　如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

　　PD、PE是否等长？

　　问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？

　　[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

　　问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．

　　请填下表：

　　已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

　　由已知事项推出的事项：PD=PE．

　　于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

　　[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？

　　问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

　　[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．

　　由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．

　　由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？

　　分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．

　　思考：

　　如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

　　1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？

　　2．比例尺为1：20000是什么意思？

　　结论：

　　1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处．

　　2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了． 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm表示实际距离 200m的意思．

　　作图如下：

　　第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

　　第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

　　总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．

　　III．例题

　　例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

　　分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．

　　证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．

　　因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．

　　所以PD=PE．

　　同理PE=PF．

　　所以PD=PE=PF．

　　即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

　　IV．课时小结

　　今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．