映射与函数同步学习指导 高考专题辅导

8．函数对于任意实数满足条件，若则______；
　　解：由得，
　　　　所以，则。
　　评注：通过对抽象函数考察学生的逻辑思维能力。

　　9．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。
　　(Ⅰ)若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；
　　(Ⅱ)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0。求函数f(x)的解析表达式。
　　解：(Ⅰ)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，
　　　　　　所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2。
　　　　　　又由f(2)=3，得f(3－22+2)=3－22+2，即f(1)=1。
　　　　　　若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a。
　　　　(Ⅱ)因为对任意x∈R，有f(f(x))－x2 +x)=f(x)－x2+x。
　　　　　　又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0。
　　　　　　所以对任意x∈R，有f(x)－x2+x=x0
　　　　　　在上式中令x=x0，有f(x0)－x+x0=x0
　　　　　　又因为f(x0)=x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1。
　　　　　　若x0=0，则f(x)－x2+x=0，即f(x)=x2–x。
　　　　　　但方程x2–x=x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x2≠0。
　　　　　　若x2=1，则有f(x)－x2 +x=1，即f(x)= x2–x+1。
　　　　　　易验证该函数满足题设条件。
　　　　　　综上，所求函数为f(x)= x2–x+1(xR)。
　　点评：该题的题设条件是一个抽象函数，通过应用条件进一步缩小函数的范围得到函数的解析式。这需要考生有很深的函数理论功底。

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