映射与函数同步学习指导 高考专题辅导

一、基本内容：
1．映射定义：
　　设A、B是两个集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射。
　　记为
　　注意：(1)A中元素的任意性，B中元素的唯一性构成映射的核心；
　　　　　(2)“多对一”、“一对一”是映射；“一对多”不是映射；
　　　　　(3)映射的性质：三要素------方向性，任意性，唯一性.

2．象与原象：
　　如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。
　　注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
　　　　　(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
　　　　　(3)a的象记为f(a)。

3．一一映射是一种特殊的映射.
　　若一个映射同时满足：⑴A中的不同元素在B中有不同的象；⑵B中任何一个元素在A中都有原象，则这个映射就是一一映射.

4．函数：
　　设A、B是两个非空数集，若是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数。记为y=f(x)
　　注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
　　　　　(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
　　　　　(3)B中的元素未必有原象，即使有原象,也未必唯一；
　　　　　(4)定义域：原象的集合A； 值域：象的集合C(为什么不是B？)CB。
　　注意：对函数定义的理解：
　　[1]从数集到数集的映射——特殊的映射；
　　[2]与初中定义的对比——一致性，区别：集合是基础，用对应处理！(现代定义)
　　例子：常数函数，点函数：。
　　处处不连续的狄利克雷函数

5．函数的记法：
　　f(x)、g(x)、F(x)、G(x)等

6．区间符号：
　　(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
　　(2)无穷区间；
　　(3)区间的数轴表示。
　　设a,b∈R ,且a＜b.我们规定：
　　⑴满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
　　⑵满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；
　　⑶满足不等式ax＜b 或a＜xb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].
　　这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
　　注意：书写区间记号要遵循三个原则：
　　① 有完整的区间外围记号(上述四者之一)；
　　② 有两个区间端点，且左端点小于右端点；
　　③ 两个端点之间用“，”隔开.

7．函数的表示法：
　　（1）列表法—列表表示函数关系。如年份与四中入学人数。
　　　　 特点：不必计算函数值，一目了然
　　（2）图象法—图象表示函数关系。(注：定义域是离散的点集)
　　　　 特点：直观，尤其是单调性、对称性等，并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷
　　　　 　　　(Dirichlet)函数D(x)=,我们就作不出它的图象.
　　（3）解析法(公式法)—用代数式表示函数关系。的关系
　　　　 特点：更能准确地反映与的关系
　　注：函数的对应法则：
　　(1)符号y=f (x)即是“y是x的函数”的数学表达式。还可以用其它符号，g(x)，F(x) , G(x)表示；
　　(2)对应法则与选择表示自变量的符号无关：

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