高一数学 8《最小二乘估计》教案 北师大版必修3

最小二乘估计

教学目标：1、掌握最小二乘法的思想
          2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
教学重点：最小二乘法的思想
教学难点：线性回归方程系数公式的应用
教学过程
回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。
问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。
最小二乘法就是基于这种想法。
问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？
设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一、点到直线的距离公式
        

方法二、

显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。
问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：
     从而我们可以推广到n个样本点：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：
 
使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法
问题4、怎样使 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
设有3个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：
 …………………①
整理成为关于a的一元二次函数 ，如下所示：
      
利用配方法可得
 
从而当 时，使得函数 达到最小值。
将 代入①式，整理成为关于b的一元二次函数 ，
 
      
       
同样使用配方法可以得到，当
 
 
时，使得函数 达到最小值。
从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：
 
 
其中
由 我们知道线性回归直线y=a+bx一定过 。
例题与练习
例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表
气温（xi）／oC 26 18 13 10 4 -1
杯数（yi）／杯 20 24 34 38 50 64
（１） 试用最小二乘法求出线性回归方程。
（２） 如果某天的气温是－3 oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。
解：（1）先画出其散点图
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