四年级奥数解析（十八）加法原理与乘法原理（上）

《奥赛天天练》第16讲《加法原理》、第17讲《乘法原理》、第18讲《两种原理的综合运用》。这三讲将初步介绍计数研究中最基本、最常用的两个原理：加法原理和乘法原理。计数就是数数，即把一些对象的个数数出来。简单的计数可以一个一个地数。对于比较复杂的计数，一个一个地数很难，可以利用加法原理和乘法原理帮助我们计数。

加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m₁种不同的方法，在第二类方法中有m₂种不同的方法，……，在第N类方法中有m_n种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m₁＋m₂＋m₃＋…＋m_n种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m₁种方法，完成第二个步骤有m₂种方法，…，完成第N个步骤有m_n种方法，那么，完成这件工作共有m₁×m₂×…×m_n种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。

《奥赛天天练》第16讲，巩固训练，习题1

【题目】：

用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？

【解析】：

运用加法原理，把组成方法分成三大类：

①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。

②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。

所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。

《奥赛天天练》第16讲，巩固训练，习题2

【题目】：

各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

【解析】：

一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+7； 24=9+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类：

①由9、9、8三个数字可组成3个三位数：998、989、899；

②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789；

③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。

所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。

《奥赛天天练》第16讲，拓展提高，习题1

【题目】：

有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7和8厘米的细木条若干，从中选取适当的3根木条作为三条边可以围成多少个不同的三角形？

【解析】：

围三角形的依据：三根木条能围成三角形，必须满足任意两边之和大于第三边。要满足这个条件，需要且只需要两条较短边的和大于最长边就可以了。

这道题的计数比较复杂，需要分层重复运用加法原理。

根据三角形三边长度情况，我们先把围成的三角形分为两大类：

第一大类：围成三角形的三根木条，至少有两根木条等长（包括三根等长的）。

由题目条件，围成的等腰三角形腰长可以为1、2、3、4、5、6、7、8厘米，根据三角形腰长，第一大类又可以分为8小类，三边长依次是：

①腰长为1的三角形1个：1、1、1。

②腰长为2的三角形3个：2、2、1；2、2、2；2、2、3。

③腰长为3的三角形5个：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；3、3、5。

④腰长为4的三角形7个：4、4、1；4、4、2；……4、4、7。

⑤腰长为5的三角形8个：5、5、1；5、5、2；……5、5、8。

同理，腰长为6、7、8厘米的三角形都是8个。

第一大类可围成的不同的三角形：1+3+5+7+8×4=48（个）。

第二大类：围成三角形的三根木条，任意两根木条的长度都不同。

根据最长边的长度，我们再把第二大类围成的三角形分为五小类（最长边不可能为是3厘米、2厘米、1厘米）：

①最长边为8厘米的三角形有9个，三边长分别为：8、7、6；8、7、5；8、7、4；8、7、3；8、7、2；8、6、5；8、6、4；8、6、3；8、5、4。

②最长边为7厘米的三角形有6个，三边长分别为：7、6、5；7、6、4；7、6、3；7、6、2；7、5、4；7、5、3。

③最长边为6厘米的三角形有4个，三边长分别为：6、5、4；6、5、3；6、5、2；6、4、3。

④最长边为5厘米的三角形有2个，三边长分别为：5、4、3；5、4、2。

⑤最长边为4厘米的三角形有1个，三边长为：4、3、2。

第二大类可围成的不同的三角形：9+6+4+2+1=22（个）。

所以，这一题共可以围成不同的三角形：48+22=70（个）。

《奥赛天天练》第16讲，拓展提高，习题2

【题目】：

一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？

【解析】：

要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试9次（如果9次配对失败，第10把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试8次；……第9把锁最多试1次，最好一把锁不用试。

所以，最多试验次数为：9+8+7……+2+1=45（次）。

《奥赛天天练》第17讲，模仿训练，练习1

【题目】：

某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法？

【解析】：

运用乘法原理，把买饭菜分为三步走：

第一步：选汤有2种方法。

第二步：选荤菜有4种方法。

每种选汤方法对应的都有4种选荤菜的方法，汤和荤菜共有2个4种，即8种不同的搭配方法。

第三步：选蔬菜有3种方法。

荤菜和汤有8种不同的搭配方法，每种搭配方法，对应的都有3种选蔬菜的方法与其二次搭配，共有8个3种，即24种不同搭配方法。

如下图所示：

          
    所以，共有不同的买法：2×4×3=24（种）。