四年级奥数解析（五十四）逻辑推理问题（3）

《奥赛天天练》第49讲，模仿训练，练习2

【题目】：

4个小朋友进行三项田径比赛。规定第一名得5分，第二名得3分，第三名得2分，第四名得1分。最后统计4个人的总分情况是：甲得10分，乙得12分，丙得4分，丁得7分，试求每人每项所得分数中的一种情况。

【解析】：

第一步：条件分析。

解答这一题的关键在于弄清题意，这一题的答案要满足3个条件：

一、每个人比赛名次总分符号题目条件；

二、每个人正好参加3项比赛；

三、因为是三项比赛，四个小朋友的所有比赛名次中，要正好有3个第一名，3个第二名，3个第三名，3个第四名。

可以列出下面的表格，分析计算，逐步推理，解决问题。

甲总分为10分，参加3项比赛，在5、3、2、1四个数中任选3个数（同一个数可以选不止1次，选几次算几个数），只有5+3+2=10符合条件。所以甲得了一个第一名、一个第二名、一个第三名。

同理：

乙得了12分，只有5+5+2=12符合条件，所以乙得了两个第一名，一个第三名；

丙得了4分，只有2+1+1=4符合条件，所以丙得了一个第三名，两个第四名；

丁得了7分，只有3+3+1=7符合条件，所以丁得了两个第二名，一个第四名。

如上图，正好有3个第一名、3个第二名、3个第三名、3个第四名。

第二步：根据条件分析的结果，找出每人每项所得分数中的一种情况。

把这三项运动比赛依次命名为第一项比赛、第二项比赛、第三项比赛。列表推理，可得下表中每人每项所得分数的一种情况（每一项得分前的序号表示比赛名次）:

推理过程：

假设甲在第一项比赛中获得第一名5分，在第二项比赛中获得第二名3分，在第三项比赛中获得第三名2分。

则乙得了2个第一名，就是第二项和第三项的第一名得5分，乙只能在第一项得了第三名2分。

丙得了一个第三名，两个第四名。第一项和第三项的第三名已经有主，丙只能得第二项的第三名2分，剩下丙在第一项、第三项就是得了第四名1分。

丁得了两个第二名，一个第四名，是第二项的第四名1分，第一、三项的第二名，分别得3分。

《奥赛天天练》第49讲，巩固训练，习题1

【题目】：

甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两个人要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？

【解析】：

假设、推理、反证：

四人比赛，每两个人要赛一场，共有6场比赛：3+2+1=6，每场比赛一胜一负，共有6胜、6负。

因为甲、乙、丙三人胜的场数相同，已知的甲已经胜了一场，所以这三人平均每人最少可能胜了1场，最多可能胜了2场。

假设甲、乙、丙三人平均每人胜了1场，共胜3场，则丁一个人胜了3场，即丁同时胜了甲、乙、丙三人，与已知条件“甲胜了丁”矛盾，即这个假设是错误的。

所以，真实的结果是甲、乙、丙三人平均每人胜了2场，即丁胜了0场。

倒推验证：

根据上面结论，甲、乙、丙三人都胜了丁，各得1场胜。

然后，这三人相互之间，只要循环战胜（例如甲胜了乙；乙胜了丙；丙胜了甲），即每人再一胜一负。

可得：甲、乙、丙三人平均每人胜2场，丁胜0场成立。

《奥赛天天练》第49讲，巩固训练，习题2

A，B，C三个足球队进行循环赛，下表给出了比赛的部分结果，请你根据已有的数据填满下表，并指出各场比赛结果。

【解析】：

比赛常识：在循环比赛中，一方失球必有一方进球；一方胜必有一方负或两平。所以进球总数与失球总数相等；胜场总数与负场总数相等；平场对应出现。

A队：2场比赛都胜了，则负0场、平0场；进球数为三个队失球总数减去另两个队的进球总数：2+4+7-3-3=7（个）。完成填空如下表：

C队平了1场，同场平的只能是B队；A队胜2场，则B队、C队各自负了A队一场。完成填空如上表。

比赛结果是A队2胜；B队、C队都是1负1平。

《奥赛天天练》第49讲，拓展提高，习题1

【题目】：

【解析】：

4个队的单循环赛共有6场比赛。每场比赛若是平局两队共2分，分出胜负两队共得3分。2×8=12；3×6=18，所以六场比赛四个队所得总分在12分到18分之间。每个队最高得（3×3=）9分，最少0分。

假设六场都分出了胜负，其中一个队3胜得9分，剩下3个队循环战胜（即甲胜了乙；乙胜了丙；丙胜了甲），每个队都得3分，则这3个队通过比得、失球的个数，有一个队会出线。即积3分的队有可能出线。

又如：假设六场都是平场，平均每队都得3分，通过比得、失球的个数，有两个个队会出线。即积3分的队有可能出线。

《奥赛天天练》第49讲，拓展提高，习题2

【题目】：

A、B、C、D、E、F这6个足球队进行比赛，每队都已赛过三场。

（1）A队三战得6分；

（2）B队三战都负；

（3）C队三战三平；

（4）D、F两队进行过一场比赛，D队的三场比赛积分为1分。

比赛中胜一场得2分，平局各得1分，负一场得0分。你知道E队的三场比赛都是与哪个队进行的吗？胜负如何？

【解析】：

题中有6个参赛队，每队各有3场比赛，情形比较复杂，可以画出连线图帮助推理。如下图：

①A队得6分，即3胜，B队3负，都没有平局，所以与C队战成平局的3个队是F队、E队、D队。（看图中红色双箭头连线）

②同理，C队3平，D队得1分即1平2负，没有胜局，所以B队3场比赛分别输给了F队、E队、A队。（看图中蓝色连线，箭头指向输队）

③“D、F两队进行过一场比赛”，因为D队与C队战成平局得1分，剩下2场都输了，所以F队胜了D队。（看图中绿色连线，箭头指向输队）

④观察已完成的连线图，A队剩下2场只能是胜了E队和D队。（看图中黑色连线，箭头指向输队）

观察连线图，很容易看出，E队3场比赛的对手是A队、B队、C队，比赛结果是输给了A队，战胜了B队，与C队战成平局。

世界杯足球小组赛，每组4个队进行单循环比赛（每个队都要与其他队比赛一场），每场比赛胜队得3分，败队记0分，平局各记1分。小组全赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛。总积分若一样，则还要看各队的进球数和失球数来排列顺序，若有一个队只积3分，问这个队有可能出线吗？为什么？