四年级奥数解析（五十七）可能性问题

《奥赛天天练》第52讲《可能性问题》，可能性问题就是概率问题，概率就是研究事物出现的可能性的一种数学方法（见高中教材）。为了便于小学阶段儿童的理解，给名词“概率”换了个与生活联系紧密的、孩子比较熟悉的通俗的名称，叫做“可能性”。

相关概念：

样本点：随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点，记作ωi。

样本空间：随机试验中全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作Ω．即Ω＝｛ω1，ω2，…，ωn，…｝。

随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验结果中具有某种规律性的某类现象叫做随机事件，简称事件。随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。仅含一个样本点的随机事件称为基本事件，含有多个样本点的随机事件称为复合事件。

在相同的条件下重复地进行试验，虽然每次试验的结果中所有可能发生的现象是可以明确知道的，并且其中必有且仅有一个现象发生,但是在试验之前却无法预知究竟哪一个现象将在试验的结果中发生。

事件A发生的概率：在随机试验中，假设随机事件A为样本空间Ω的任一子集,只要属于事件A的样本点出现，则称事件A发生。事件A发生的概率就是事件A包含的样本点的个数与全体样本点的个数的比值。

补充例1：

一个游戏的中奖率是1﹪，买100张奖券，一定会中奖吗？买1张奖券有可能中奖吗？

【解析】：

因为在试验之前，我们无法预知究竟哪一个现象将在试验的结果中发生，即一切皆有可能。

所以，买100张奖券，虽然中奖的可能性很大，但也可能不中奖，即不一定会中奖；而买1张奖券，虽然中奖的可能性非常小，但也有可能会中奖。

补充例2：

先后抛两枚硬币，两枚硬币朝上的面一正一反的可能性有多大？

【解析】：

求一个现象发生的可能性有多大，就是求这个事件发生的概率。解题的关键是找准样本空间中全体样本点的个数与所求随机事件包含的样本点的个数。

先列举出所有可能出现的结果：①正  正、②正  反、③反  正、④反  反。

所以，两枚硬币朝上的面一正一反的可能性为：2：4=1/2。

解决这题的关键是弄清：两枚硬币，“第一枚正面朝上第二枚反面朝上”与“第一枚反面朝上第二枚正面朝上”，是两个不同的样本点。

《奥赛天天练》第52讲，巩固训练，习题2

【题目】：

一个口袋中有2个红球（A，B），1个白球（C）。小明闭上眼睛。

⑴任摸一个球，摸到的是白球的可能性有多大？

⑵任摸一个球，摸到的球不是白球的可能性有多大？

⑶任摸二个球，摸到的球都是红球的的可能性有多大？

⑷任摸二个球，摸到的球是红、白两色的可能性有多大？

【解析】：

先列举出全体样本点。

任摸一个球，所有可能出现的结果有：

①红球A；  ②红球B；  ③白球C。

任摸二个球，所有可能出现的结果有：

①红球A、红球B；  ②红球A、白球C；  ③红球B、白球C。

根据列举的情况，分别求解。

⑴任摸一个球，摸到的是白球的可能性为：1/3；

⑵任摸一个球，摸到的球不是白球的可能性为：2/3；

⑶任摸二个球，摸到的球都是红球的的可能性为：1/3；

⑷任摸二个球，摸到的球是红、白两色的可能性为：2/3。

《奥赛天天练》第52讲，拓展提高，习题2

【题目】：

“江苏省传统型体育彩票”的每注号码是由七位数字组成，每位上的数字都是0～9这10个数字中的一个。按规定，每次开奖时，如果全部七个数字的号码与位置都与中奖号码相同时，该号码即为特等奖。请问特等奖的获奖可能性有多大？

【解析】：

先找出全部样本点的个数，即这样的号码一共有多少注。

每注号码有七个数字，依次确定这七个数字，可以分为七步，每一步确定的数字都有10种可能（不同位置的数字可以相同的）。根据乘法原理，共有10⁷个不同的排列，即一千万注不同的号码，开奖时，每一注号码都有可能是中奖号码，但中奖号码只能是其中之一。

所以，全部七个数字的号码与位置都与中奖号码相同，即中特等奖的获奖可能性为一千万分之一。

附：

“统计与概率”是小学数学课程的四大学习领域之一，主要研究客观世界中的随机现象，通过分析事件发生的可能性，培养学生的随机思维，使学生学会用概率的眼光去理解事物的发生发展情况、观察变化中的现实世界。

根据《数学课程标准》要求，小学阶段可能性问题相关学习内容包括：

第一学段（一到三年级），通过《抛硬币》、《摸球游戏》等实践活动让学生初步体验有些事件发生是确定的，而有些则是不确定；能列出简单试验所有可能发生的结果，知道事件发生的可能性是有大小的，能对一些事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。

第二学段（四到六年级），通过《摸球游戏》、《设计公平游戏规则》等实践活动，使学生在具体情境中体会概率的意义；体验事件发生的等可能性，会求一些简单事件发生的概率；对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由；知道大量重复实验时频率可作为事件发生频率的估计值。