4.7 相交线 教案设计

 

　　一、教材分析

　　垂线是平面几何所要研究的基本内容之一，是七年级（上）第四章“图形的初步认识”的主要内容之一．垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习空间里的垂直关系、三角形的高、切线的性质和判定以及平面直角坐标系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用．垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一．

　　实验教材将本节内容分两课时，与以前的教材相比，虽然缩短了1课时，但更注重对学生实际操作能力的培养，更注重渗透变换的思想．“做一做”这种探究性活动，为培养学生的参与意识和创新意识提供了机会．垂线的画法是学生学习本节内容的一个难点．结合学生所学的知识及生活实际，有效地引导学生认知和感受知识的发生发展过程．精心设计投影片和变式训练，并恰到好处的利用运动变化，体现画垂线的思维过程，在掌握垂线概念的基础上，使学生顺利自然地突破画垂线的难点．

　　二、学情分析

　　我校属农村城镇中学，学生全部享受九年义务教育，实行微机分班，未进行筛选．在层次上参差不齐，基础和发展均不平衡，且教学硬件只能使用投影仪，无条件进行多媒体教学．经过一学期的实践，学生基本上适应了以学习小组方式参与探究活动的学习方法，不同程度地享受到了数学知识来源于实践操作的成功体验，从而愿意在教师的指导下主动与同学探索、发现、归纳数学知识．

　　三、设计理念

　　针对教材内容和学生实际，组织学生实践、感悟出两直线互相垂直的概念，引导学生分析、解决问题，使学生在自己动手的基础上，发现垂线的性质，又借助于教具、实物、图形、幻灯等，从直观的感性认识中发现抽象的概念，使他们成为探求知识的主体，同时还利用问题探究式的方法让学生对新课加以巩固理解．在探究垂线的性质时，采取小组学习形式，可弥补教者在大班额教学中对弱势学生关注的不足．初步探索在农村中学中如何进行研究性学习．

　　四、教学目标

　　1．了解两条直线互相垂直的概念．

　　2．知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．

　　3．培养学生的观察、理解能力，几何语言能力，画图能力，抽象思维能力以及运用知识解决实际问题能力．

　　4．培养学生辩证唯物主义思想及勇于探索的精神．

　　5．通过创设情境，利用变式训练和多种教学手段来激发学生的学习兴趣，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会，给学生营造可持续发展的机会．

　　五、教学重点

　　两直线互相垂直的有关性质．

　　六、教学难点

　　过直线上（外）一点作已知直线的垂线．

　　七、教学用具

　　多媒体、投影仪、自制的可旋转的两根木条等．

　　八、教学过程

　　〔一）背景

　　1．（生活背景）红十字会标志．

　　2．（知识背景）两条直线相交，产生两对对顶角，且对顶角相等．

　　（二）师生互究

　　1．创设问题情境：

　　师：这是两幅草坪的图案．在绿色的草坪上，画着两条交叉的道路．你觉得图（甲）和图（乙）哪幅更漂亮、更匀称．这是什么原因？（教师用多媒体或投影仪展示）

　　

　　（学生众说纷纭，教师应给予充分的肯定）

　　师：图（甲）是两条直线相交的一种特殊情况，它在生活、生产实际中应用比较广．请你再举一些类似的例子．

　　生：……

　　师：让我们共同探索图（甲）这种特殊情况．

　　（借助于教具、模型、实物、图形及幻灯等教学手段，使学生先得到直观的感性认识，培养学生从感性到理性的认识方式）

　　2．回顾再现：对顶角相等．

　　两条直线相交只有一个交点．如图1，直线AB和CD相交，交点为点O，有四个小于平角的角，且．

图1

　　3．提高：

　　教师演示自制教具，要求学生观察当一根木条绕着另一根木条旋转时的变化情况，并用数学语言进行描述．

　　（教师应鼓励学生大胆描述自己的观察结果，并及时予以肯定）

　　师：两直线相交，有两组分别相等的角，当一个角等于90°时，其他三个角有什么变化？可能产生四个相等的角吗？如图2（同时演示教具）将直线CD绕着点O旋转，当时，是多少度？

图2

　　生：……

　　师：你们的依据是什么？

　　生：……（用度量的方法；利用对顶角相等；互补的概念……学

　　生回答过程中，只要有道理就应予以鼓励）（这里希望在感性认识的基础上进行抽象概念的教学，培养学生的抽象思维能力）

　　4．提升：

　　（教师引导学生归纳）两条直线互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，称这两条直线互相垂直．

　　师：①如图2，直线AB和CD相交，交点为O，，记为，垂足为点O．“”读作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”．

　　②若直线，垂足为点O，则．

　　（实现数学的三大语言：文字语言，符号语言，几何语言之间的切换，并板书以突出其重要性）

　　5．再探究：

　　师：请同学们举一些日常生活中垂直的例子．

　　生：……

　　（希望实现将数学知识运用于实际生活，并为后继数学知识增加感性认知）

　　师：请同学们用三角尺或量角器作为工具．

　　①在图3中，经过直线AB外一点P，画直线与已知直线AB垂直，且讨论这样的垂线有几条．

　　②在图4中，点P在直线AB上，重复上述过程．

　　（学生分组或独立探索，教师巡视指导）

　　教师引导学生归纳结论：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．

　　（通过学生动手操作画图，教师在巡视中及时指出、纠正学生发生的错误，训练学生以严谨的科学态度研究问题、解决问题）

　　师：请同学们互相交流画图过程和“有且只有”的含义．

　　（学生讨论交流，教师巡视）

　　师：引导归纳得出：

　　①靠已知直线——找待过定点——画已知直线的垂线（一靠、二过、三垂直）．

　　②有一条并且只有一条，没有第二条．

　　师：如图5，请同学们相互比试，谁能更快地过直线CD上一点P作直线AB的垂线，并在小组间进行交流．

图5

　　（探究性活动是《数学课程标准》的一个重要举措，它为培养学生的创新意识提供了机会．“做一做”进行小组交流，一方面是为了加强对学生动手操作能力的培养，同时也培养了学生的合作意识和竞争意识，使学生更深入理解垂直、垂线的概念）

　　6．学生探索：（学生分小组测量、讨论、归纳）如图6所示，点A与直线CD上各点的距离长短一样吗？谁最短？它具备什么条件？（请小组代表发言）

图6

　　7．教师：（总结归纳）线段AB最短，．

　　（教师引导学生得出线段AB特征：A为直线外一点，B为过A向直线DC所引的垂线的垂足）

　　提高为：线段AB的长度就是点A到直线DC的距离．

　　思考：点A到直线DC的距离与点A到点C的距离有什么区别？

　　点A到直线DC的距离：线段AB的长度，A为直线外一点，B为过A向直线DC所引的垂线的垂足．

　　点A到点C的距离：两点之间线段的长度．

　　（从生活实际和学生感兴趣的问题引导学生发现垂线的第二个性质，提高学生学数学的兴趣，并适当体现学数学——用数学——发现数学的思想）

　　（三）较量

　　1．第162页第1、2、3题．

　　2．应用：（使学生在相互竞争中，实践应用本节课的知识，分享获取成功的喜悦，并促进学生积极向上的心理品质）

　　①某村庄在如图7所示的小河边，为解决村庄供水问题，需把河中的水引到村庄A处，在河岸CD的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图来，并说明道理．

图7

　　②教材第162页“做一做”．

　　③体育课上怎样测量跳远成绩？（如图8）

图8

　　（学以致用，学生做个小小设计师，兴趣盎然，把这节课引入高潮）

　　（四）分享

　　1．两条直线互相垂直的概念．

　　2．如何过已知直线上或已知直线外的一点作惟一的垂线．

　　（五）探索

　　1．第166页第1题．

图9

　　2．学校的位置如图9所示，请在图上设计出学校到两条公路的最短路线，并说明理由．

（第2课时—相交线中的角）

 

　　一、教学目标

　　1．使学生了解同位角、内错角、同旁内角的概念；让学生能够在图形中正确辨别出同位角、内错角和同旁内角．

　　2．通过图形的变化，培养学生的识图能力和分解图形的能力；通过“试一试”培养学生的动手操作与探索的能力．

　　3．通过学生分组讨论，培养学生合作交流、团结协作的思想品质；通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐．

　　二、教学重点

　　同位角、内错角、同旁内角的识别．

　　三、教学难点

　　在各种图形中认识同位角、内错角和同旁内角．

　　四、教学用具

　　小黑板．

　　五、教学过程

　　（一）复习

　　同学们，我们在前面学习了两条直线相交构成的四个角中，存在着两种关系：①对顶角；②互补．如图1，与是对顶角，与是对顶角，根据对顶角的性质可知；与互补，与互补．

图1

　　（二）引入新课

　　如图2，现在我们来研究一下，两条直线与同一条直线相交（也就是两条直线被第三条直线所截）所成的八个角中两个不同顶点的两个角之间的位置关系．（请学生看书第163～164页，写出课题：相交线中的角——同位角、内错角、同旁内角）

图2

　　1．让学生观察与都在直线l的同旁，并且在直线a的上方，在直线b的上方，它们这组角的位置相同（即在截线的同旁，被截两直线的同方向），我们把这种位置相同的角称为“同位角”．

　　提问：除了与是同位角外，还有没有其他的同位角？学生回答，然后分别指出，的同位角是______，的同位角是_______，的同位角是________．

　　反过来，再让学生找出的同位角．

　　归纳得出结论：两条直线被第三条直线所截，所构成的八个角中，从对应位置考虑，可分为四对同位角．

　　2．让学生再观察图2，发现八个角中夹在直线a与直线b之间的有四个角，分别是，其中与交错着，也就是在截线的两旁，我们把这样的角称为“内错角”（注意：强调在两条直线之间，并且在截线的两旁）．

　　提问：除了与是内错角外，还有没有其他的内错角？如果有，请指出来．

　　3．让学生再次观察图中的与，它们在直线a、b之间，同时也在直线l的同旁，我们把这样的角称为“同旁内角”，同样，与也是同旁内角．

　　4．学生练习：第165页第1、2题（分组完成，教师强调指出截线是什么？与被截直线是什么？）．

　　5．讲解书上165页“试一试”，先由学生思考（可由教师适当提示），然后再让学生动手操作（可抽取一名同学上台板演），最后再作说明．

　　6．教师小结：两条线被三条线所截，所形成的角中的不同顶点的两个角，按照不同的位置可分为三种角，即同位角、内错角和同旁内角．希望同学们能够准确地识别这三种角，当图形中的线多于3条时，能依据题意将有关的3条线分解出来．

　　7．作业：第166页习题4.7第2、3题．

　　8．思考题：

　　（1）如图AB和AC被BC所截得的和，被DE所截得的和分别是什么角？

　　（2）如图和是不是同位角？和呢？与呢？与呢？为什么？并分别指出是由哪两条线被哪条线所截而成的．