两角和与差的三角函数，解斜三角形·三角变换中的最值问题

函数转化为代数式求解，在求解最值问题时要恰当选取代数与三角两种工具，并能互相转化．

以上我们研究了函数式的最值问题，下面我们看几个最值应用问题，探讨如何利用三角这一工具解决问题．

例4  欲在半圆形铁皮（如图1）截取矩形，如何截取利用率最高．（半径为R）

分析：矩形ABCD的面积取决于CD的位置，而CD∥AB，故C点位置一旦取定，则D点位置也随之而定．C点在圆周上，连结圆心O与C点，则∠COB的大小便确定了C点的位置，故引入∠COB作为变量写出目标函数．

解

S=Rsinα·2Rcosα=R2sin2α，

利用三角变换解最值应用问题的一般步骤是：1°全面分析题目，选择恰当的自变量；2°列出目标函数，确定自变量取值范围；3°利用三角变换公式求最值．

若我们把半圆形铁皮改为扇形铁皮，如何求解呢？请同学们练习．

练习4  在半径为R，中心角为α的扇形铁皮中（如图2）截取矩形，何时利用率最高．

（此题可利用正弦定理，即△ABC中，A，B，C为三内角，a，

（给出时间让学生独立思考，请学生回答．）

生：与例4相似的有矩形ABCD面积由CD位置决定，CD∥AB，C点位置决定了矩形ABCD的面积，而∠COB的大小决定了C点位置．故引入∠COB为变量．这个题目与例4的区别在于目标函数较例4复杂．

解  设∠COB=θ，θ∈（0，α）．

在Rt△COB中，|BC|=Rsinθ，在△COD中，∠CDO=π-α，∠DOC=α-θ，由正弦定理，

师：四个题目还可以略加改动．

练习5在中心角为α半径为R的扇形中如图截取矩形（如图3），何时利用率最高．

请同学们课下解决，并且总结这类有动点在圆周上的题目的解法．

下面我们再看一个例题：

例5  边长为α的正三角形ABC，其中心为O，过O的直线MN

分析：OM与ON的长度与过O的直线MN的倾斜程度有关，故引入∠AOM为变量，利用解三角形的知识表示出|OM|及|ON|，求解最值．

解  设∠AOM=α．

这个题目仍然是引入了角做变量，利用三角变换这一工具求解最值．这个题目限定自变量的取值范围直接影响结果，十分重要．

下面我们小结一下这节课．这节课我们主要研究了两个问题：即函数式的最值问题及最值应用问题．函数式的最值问题是最值应用问题的基础，解决函数式的最值问题的关键在于灵活地选用代数与三角两种工具，树立转化的数学思想，同时应注意一些典型方法的总结．解决最值应用问题的关键在于充分分析题目，选择恰当的自变量，列出相对简单的目标函数以便于求解最值．

作业

1．求下列函数的值域．

上一页  [1] [2] [3]  下一页