两角和与差的三角函数，解斜三角形·两角和与差

教学目标

1．使学生掌握两角和与差的余弦公式，并会应用这一公式解决一些有关三角函数的求值问题与证明问题．

2．通过两角差的余弦公式的推导与证明，学生进一步理解与运用函数的思想，进一步渗透基本量的数学思想方法（基本量思想就是一种函数的思想）．

3．在公式的推导过程中，使学生注意并学习严密而准确的数学思维方法及其数学表达方式．

教学重点与难点

本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．

教学过程设计

师：今天我们开始学习新的一章《两角和与差的三角函数》，这一章中一共有四十多个公式，抓住这些公式中的第一个公式，后面的公式则势如破竹迎刃而解．这第一个公式是什么呢？可以像我们课本上那样，以两角和的余弦公式作为这些公式中的第一个公式，也可以如同我们下面要学习的这样，以两角差的余弦公式作为这些公式中的第一个公式．

（由此，使学生认识到这些公式的龙头是第一个公式，也可以说牵牛要牵牛鼻子，只要抓住这第一个公式，后面的公式则可顺利得出．同时，也使同学认识到同样的数学知识可以有不同的数学结构，这样学生自然会认识到掌握数学知识固然重要，同样重要的是掌握它们的数学结构．这样，在同学们头脑中形成的就不是一些孤立的数学知识点，而是由数学知识编织而成的知识网络．）

师：我们要学习的第一个公式是两角差的余弦公式，也就是用α与β各自的三角函数值表示cos（α-β）．怎样用α与β各自的三角函数值来表示cos（α-β）呢？同学们可以猜想，猜错了没有关系．

牛：cos（α-β）=cosα-cosβ．

师：对这一猜想，我们应当做些什么？

生：这一猜想可能是对的，也可能是错的．我们不妨先把α与β换成具体的已知角度来检验一下．

师：很好．那么我们把α与β分别换成什么角呢？

生：把α与β分别换成60°与30°．

师：好．请每个同学都算一下，看看下面等式是否成立：

cos（60°-30°）=cos60°-cos30°．

师：数学发展史上有很多重要的猜想，有些猜想后来被人们证明了是正确的，有些猜想后来被人们证明了是错误的．有些猜想至今还没有人能证明它是对还是错，如“哥德巴赫”猜想，即“任意一个大偶数（大于2的偶数）一定可以表示成两个质数的和．”至今世界上没有人能解决这一猜想，但我国的著名数学家陈景润在这一问题上的研究成果在世界上是处于领先地位的．

对于我们的猜想，通常是先用具体数据进行检验．通过检验如果发现猜想错了，则问题得到了解决，如果检验了很多次都没发现猜想是错的，这时可以考虑这一猜想可能是正确的，但它的正确性仍要等待证明．

通过验证，我们很快知道了cos（α-β）=cosα-cosβ是错误的．如果再猜cos（α-β）=？，又不知如何猜了．请同学们回顾一下我们提出的问题：如何用α与β各自的三角函数值表示cos（α-β）？

这就是说，我们可以把sinα，cosα，sinβ，cosβ当成已知数去求cos（α-β）．在学习数学时，大家已体会到数形结合的数学思想是很重要的．我们现在怎么办呢？

生：建立平面直角坐标系，把α与β角画出来．

（此时教师把图画在黑板上，如图1．）

师：这个图画的行吗？

（学生一般会认为这个图画得可以，这时教师要进行引导，培养学生严密而准确的数学思维方法和数学表达方式．）

师：这个图体现了α与β的任意性吗？我们把图画成什么样才能体现α与β这两个角的任意性呢？

（通过引导，使学生认识到应画成图2状．）

师：图中射线OM，ON分别是α和β的终边，那么α-β在图中怎样体现呢？

生：α-β=∠MON或β-α=∠MON．

师：应当是α-∠MON与β终边相同或α+∠MON与β终边相同，即

α ∠MON=β+2kπ（k∈Z，0≤∠MON≤π），

所以

α-β=±∠MON＋2kπ（k∈Z，0≤∠MON≤π）．

这时，我们再考虑怎样把sinα，cosα，sinβ，cosβ作为已知量去求cos（α-β），也就是去求cos∠MON．

生：画一个单位圆，设单位圆分别交OM，ON于A和B，连AB（如图3）．

师：我们向大家介绍过基本量法，请一个同学简述基本量法．

生：在一个数学问题中往往涉及到许多量，其中有些量是可以独立取值的，而其余的量可以看做是这些量的函数．我们任取一组可以独立取值的量，把它们叫做基本量，然后把其余的量（导出量）用基本量表示出来，这样往往可以使问题得到解决．

师：回答得很好．在我们研究的问题中把什么作为基本量呢？

生：把sinα，cosα，sinβ，cosβ做为基本量，用它们去表示cos（α-β），也就是求cos∠AOB．

师：我们知道一个角的终边与单位圆交点的纵坐标就是这个角的正弦值，一个角的终边与单位圆交点的横坐标就是这个角的余弦值．因此，图3中A，B两点的坐标是——

生：A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．

师：这样，我们可以用α的三角函数与β的三角函数表示|AB|．下面解决什么问题？能否用α-β的三角函数表示|AB|呢？

师：我们把图3中的∠AOB顺时针旋转一些，使OB落在x轴正半轴上得图4．这时射线OA就是α-β的终边位置．图3中的|AB|与图4中的|AB|相等，图4中A点坐标为（cos（α-β），sin（α-β））．

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