两角和与差的三角函数，解斜三角形·倍角公式的应用

教学目标

1．使学生熟练地掌握二倍角公式及其有关变形公式来解题．

2．使学生会利用倍角公式解决某些几何问题，初步学会用三角法解几何问题．

3．培养学生解决实际问题的能力．

教学重点与难点

教学重点是灵活运用倍角公式及其变形．教学难点是恰当取角作自变量，用三角法解决几何问题．

教学过程设计

师：我们上节课学习了倍角公式，请一名同学叙述一下公式内容．

生：sin2α=2sinα·cosα；

cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1；

师：倍角公式不限于二倍角，凡用单角的三角函数来表示的三倍角、四倍角等三角恒等式，都叫倍角公式．请大家想想，我们还学习了哪些倍角公式？

生：三倍角的正弦、余弦公式，即

sin3θ=3sinθ-4sin3θ；cos3θ=4cos3θ-3cosθ．

另外我还推导出三倍角的正切公式，即

师：很好．这几个公式不太好记忆，请大家找些规律，能把它们记住是最好的，但切忌死记硬背．另外还要做到会推导这组公式．

（教师应该从平时就注意培养学生的记忆能力，教会学生找规律，抓特点，多联想，这样这些公式、定理就不再是枯燥的了．）

师：下面请同学们结合所学的知识，完成两道练习．（板书）

例1  求值：

（1）sin215°；

（2）cos36°·cos72°．

（给学生一些时间考虑，不要怕耽误时间，而要让学生多参与．）

师：刚才我巡视了两行，只有个别同学做出了结果，而对多数同学而言，之所以解题受阻，其主要原因是对“活”理解不够．换句话说，就是只记住了公式的直观形式，而缺乏继续推导其有关变形的能力．我们一起来看，由

即

（请学生观察公式变形后的特点，然后再进行归纳．）

师：通过观察，可以发现C′2α有两个特征．

第一，左边是正弦或余弦的二次幂，右边是余弦的一次幂，即从左至右，将正弦或余弦的二次幂化为余弦的一次幂，达到了降幂的作用；第二，左边是单角，右边是二倍角，即从左至右，将单角转化为二倍角，达到了扩角的作用．基于上述原因，我们将C2α的两个变形公式称为降幂扩角公式．

由于课本上没有这几个公式，但它们在化简和证明中又起着非常重要的作用，我们不妨称之为“二等公式”，即二倍角公式的推论，大家在做题中可以直接运用，以达到事半功倍的效果．这样，我们来看看刚才的两道题，就不难解决了．

请大家再做两道题，以体会这几个“二等公式”的重要作用．

练习  求值：

（给些时间请学生思考．观察题目特点，设想解题思路．）

生：右边分成两部分，一部分是单角、二次余弦函数，另一部分是二倍角、一次正弦函数．倘若对sin2x变形，既会出正弦函数，又会出余弦函数，反而使问题更加复杂，所以我考虑对cos2x变形，从而向sin2x看齐，即：

这样变形，将其转化为正弦型三角函数，求最值便迎刃而解．

重要，是整个题目求解的关键一步．

师：非常好．同学们在学习过程中应切实重视这几个公式的应用．另外作为整个三角函数知识部分的学习，我仍然强调一个重要的字，即“活”，活字当先，想题，做题要善于联想，不拘一格．这部分知识公式多，对同学们而言是件好事，但千万不要受制于这些公式，限制自己的思维．

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