两角和与差的三角函数，解斜三角形·三角变换中的求值问题

教学目标

1．复习、巩固和、差、倍、半角公式，使学生能熟练运用公式解决典型的三角函数求值问题，并能体会公式之间的内在联系；

2．通过讲授与练习，引导学生总结方法与思想，使学生掌握求值问题的基本思想与方法；

3．通过教学，渗透“转化”这一数学思想，逐步提高学生能力．

教学重点与难点

教学重点是进一步巩固三角变换公式，落实三角变换中把非特殊值向特殊值转化，异名三角函数向同名三角函数转化等基本思想及切割化弦等基本方法．

教学难点是培养学生灵活运用公式的技能．

教学过程设计

师：我们在学习三角变换公式的过程中常遇到求值问题，这节课我们共同来探讨这一问题，力求使我们求值的思路有序化．

首先让我们看第一个例题：

（给出时间让学生考虑实践，请学生回答，并让学生说出想法．）

生：在这个式子里正弦与正切两种三角函数共存．我想到异名三角函数化为同名三角函数，所以第一步“切割化弦”．

师：这位同学不仅运算正确，而且在变换中是有指导思想的，即异名三角函数化为同名三角函数，在具体做法上是“切割化弦”．这个题目中涉及了引入辅助角公式、诱导公式及倍角公式，这位同学运用得准确、熟练．

下面我们看例2：

例2  求sin42°-sin6°-sin78°+sin66°的值．

（仍然采取给出时间让学生实践，请学生回答的形式．）

生：欲求式由四项组成，我很快想到和差化积，但不是把任意两个结合在一起都可以把运算进行下去的．

师：这位同学遇到的困难说明三角变换不能盲目变换，要先观察、设计变换方案再着手实施．

生：我观察各角度间的关系，发现42°与78°结合可以出现特殊值，6°与66°结合可以出现特殊值，于是我联想起分解因式中的分组分解法，对第一项及第三项、第二项及第四项分别进行和差化积．

解  原式=sin42°-sin78°+sin66°-sin6°

=2cos60°sin（-18°）+2cos36°sin30°

=cos36°-sin18°=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°．

运算到这里我想到了学习倍角公式时遇到角度倍升的多个余弦值连乘积曾经用乘以最小角度的正弦再除以这个正弦的方法化简，故我乘以cos18°再除以cos18°来处理此式．

师：能够顺利求解这个题目的关键之一是：在变换之前首先观察角度之间的关系，对于三角变换的题目在求解前一定要先观察，不能盲目变形．

这个题目还复现了一个常用方法，即角度倍升的若干个余弦值连乘积可以通过乘以最小角的正弦再除以这个正弦值的方法化简．

下面我们看第三个例题：

（给出时间让学生实践，请同学回答．）

生：与例2类似地把第一项与第三项结合．

依此欲求出值较为困难．

师：这位同学的第一步是值得肯定的．但他在第二步中提出了

出现了三个余弦值的连乘积，但角度不存在倍升的关系，我考虑利用诱导公式转化为角度倍升的关系．

手，采取乘以最小角正弦再除以这个正弦值的方法求值？请同学们实践．

师：我们能否找到一个更具有普遍意义的方法？如例2中乘以某个角的某个三角函数值再除以这个三角函数值进行化简？

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