两角和与差的三角函数，解斜三角形·三角变换中的最值问题

教学目标

1．复习、巩固和、差、倍、半角公式，使学生能够熟练运用公式解决典型的三角函数式的最值问题．

2．在学生掌握三角函数式最值的基本求解方法的基础上，引导学生在解决最值应用问题时，会引入角做变量列出目标函数，借助繁多的三角公式求解函数最值．

3．在教学过程中突出三角函数式与代数式的相互转化，训练学生灵活选择代数与三角变换两种工具，渗透“转化”数学思想．

教学重点与难点

重点是教会学生把三角函数式最值问题转化为代数式的最值问题，同时能够利用三角变换知识解决代数式的最值问题，恰当选取方法解决问题．

难点是培养学生利用三角变换工具解决问题的意识，体现三角变换的工具性．讲授难点是引导学生全面分析题目，恰当选取变量，正确列出较易求最值的目标函数．

教学过程设计

师：我们已经学过了和、差、倍、半角公式，深感三角公式繁多，变换多端，同时三角函数还具有单调性及有界性．今天我们来共同探讨三角变换中的最值问题．首先我请一位同学回答代数式的最值问题有哪些基本求解方法．

生：有利用函数单调性的方法，如最常用的二次函数法、复合函数法、分离变量法、方程法、换元法等．

师：这位同学回答很好．我们在学习三角函数式的最值问题时也希望大家注意总结方法．下面让我们看第一个例题．

例1  求y=cos2x+6cosx+5的最大、最小值．

分析：这个函数式变量形式不统一，我们首先要设法统一变量再求其最值．

生：可以利用倍角公式统一变量，转化为二次函数求解．

因为cosx∈[-1，1]，所以ymax=12，ymin=0．

师：这个题目我们借助二次函数这一工具求最值，注意到了代数与三角变换间的沟通．下面我们看例2．

例2  求函数y=sinx+cosx+sinx·cosx+1的最大值与最小值．

生：这个题目既有“sinx”又有“cosx”，若用sin2x+cos2x=1求解，会出现根式，所以考虑把角度取半使其次数升高．

解

y=sinx·（1+cosx）+1+cosx

=（1+cosx）·（1+sinx）

师：这位同学为了不出现根式而把角度减半以达到升次的目的，很好．但若把题目改为y=sinx+cosx+3sinxcosx+1，这样能否可行？对例2有没有更具有普遍意义的做法？

生：观察到（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，故联

函数求解．于是得到例2的又一解法．

解

师：这位同学的解法更具有普遍意义，特别值得表扬的是这位同学在换元时注意到了等价性，即求出了t的取值范围．下面我们看例3．

例3  已知x2+y2=1，求u=3x+4y的值域．

分析：这个题目是代数式的最值问题，若用代数方法求解，要首先统一变元，这样就会出现根式，运算不够简洁．观察到x2+y2=1这一制约条件，联想到sin2x+cos2x=1，可令x=cosα，y=sinα．进行三角换元，利用三角公式求最值．

解  令x=cosα，y=sinα．则

所以u∈[-5，5]．

下面我们做三个练习：

练习1  已知x2+y2=4，求μ=3x+4y的值域．

（分别请三位同学板演．）

解1  令x=2cosα，y=2sinα，则

所以μ∈[-10，10]．

师：这三位同学都注意到所求函数的定义域，利用三角换元求解最值．一般来说，利用三角换元求解y=f（x）的最值问题的步骤为：1°求函数y=f（x）的定义域；2°根据求出的定义域设计换元，注意换元后给出一个能够保证其值域充满给定函数y=f（x）的定义域的新变量的最小取值范围，如练习2中要求x∈[-1，1]，令x=sinα后给出α∈

取值范围；3°利用三角公式求函数的最值．

利用换元法求最值不仅限于把变量x换为sinα或cosα，还可以换元为tanα，cotα等，要依所给函数而定；三角换元也未必只在代数式

[1] [2] [3]  下一页