两角和与差的三角函数，解斜三角形·倍角公式的应用

时圆内接矩形为内接正方形．

师：很好．看来这位同学在二次函数部分所学的知识是很扎实的，解题步骤也很清晰，但作为本题而言略有不足，谁发现了呢？

生：这不是一道纯数学味道的有关最值的题目，而是一道应用题，所以应该以答题的形式明确对圆木怎么锯法才能使横截面的面积最大．

（这是很容易忽视的一个问题，只把应用问题转化为数学问题固然重要，但也应该将最后的结论还原为应用问题的解答，以培养和训练学生的表达能力．）

生：以圆木的直径为对角线，锯成横截面为正方形的木料时，横截面的面积最大．

师：这是典型的代数法求最值，以线段作自变量，寻求面积函数关系式后，用配方法求函数最值．此外本题还可以用判别式法（看作x2的二次方程）求最值，请同学们课下做做．将来随着学习的深入，还可以利用平均值不等式求最值．但是不论怎样，求解过程都比较繁琐．结合我们所学的三角部分知识，今天来探讨另一类重要的求最值方法——三角法．

（板图，教师讲解．）

师：区别于代数法的以边作自变量，三角法顾名思义，就是以角作自变量，寻求面积的函数关系后，进而求最值．

BC=2R·sinθ，AB=2R·cosθ．

从而S=AB·BC=2R·cosθ·2Rsinθ

=4R2sinθ·cosθ=2R2sin2θ．

所以当sin2θ=1时，S最大值=2R2，即：当2θ=90°，θ=45°时，圆内接矩形面积最大，这时圆内接矩形为正方形．

答：以圆木的直径为对角线，锯成横截面为正方形的木料，此时横截面面积最大．

（教师不要急于小结本题，而是给学生时间，请他们回味数学的奥妙所在，自己对两种方法作比较．）

师：两种方法都是我们求最值的主要手段，就本题而言，显然三角法简便一些．它的关键是适当选取角作自变量，寻找面积函数，探求面积的最值．

师：上题中倘若改变一下已知条件，请同学们根据所学的知识作出判断．

（1）若把上述问题中的圆木改换成半圆木，要锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？如图4所示．

（2）若将上述问题中的圆木换成圆心角为90°的扇形圆木，结论又将如何呢？如图5所示．

（我想大多数学生会运用三角法求解，关键是如何选取角作自变量，寻找面积函数，请学生充分讨论后，上黑板书写解题过程．）

BC=R·sinθ，AB=2R·cosθ．

所以S=AB·BC=2Rcosθ·Rsinθ=R2sin2θ．

当矩形长是宽的2倍，即如图4那样截取时，矩形面积最大值为R2．

（上题的答题有一定难度，可适当降低对学生的要求．）

生：连结OC．设∠BOC=θ（0＜θ＜90°），则

BC=R·sinθ，OB=R·cosθ．

所以

答：以直角扇形的对称轴所在线段作为对角线，锯成横截面为正方形的木料时，横截面的面积最大．

师：（小结）

这一节课我们在二倍角公式的基础上，又推导出几个重要的“二等公式”，它们常常是我们做题中重要的变形手段，请大家掌握．另外我们也初步探讨了几何量的最值问题，解决这类问题的方法较多，三角法是其中的一种重要方法，它的基本步骤是：

（1）寻找与探求结论有关的三角形．

（2）适当选取角作自变量，寻求函数关系．

（3）适当进行三角恒等变形后，再根据自变量的取值范围来确定函数的最值，从而最终得出结论．

作业  课本P225习题十六第3题．

补充题

正切．

2：已知：矩形ABCD的长AB=a，宽AD=b．试求：它的外接矩形EFGH面积的最大值和它的对角线长的最大值．

课堂教学设计说明

这份教案是倍角公式变形及运用一堂课的实录，师生共同参与，以问答的形式，详细地叙述出来．倘若只是为了自己教学，只要记下教学过程即可：

1．复习倍角公式并提出新问题．

2．结合题目引出降幂扩角公式．

3．利用降幂扩角公式求最值．

4．应用倍角公式求解三角形中内角的三角函数．

5．应用倍角公式解决实际应用问题．

6．小结，作业．

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