两角和与差的三角函数，解斜三角形·倍角公式

师：（板书）

例4  （1）用sinθ表示sin3θ；

（2）用cosθ表示cos3θ．

（给一点时间让学生思考．）

师：面对一道新题，怎么想？从哪里入手？怎么变形？能否利用所学的知识解决它？其实就是要学会“联想”，不要害怕因此而耽误时间，久而久之，你们倘若真正养成了会想问题的好习惯，你的数学水平，不，应该是整体各科的水平，就会上升一个大台阶，对你们将来步入社会，继续发展是大有好处的．

生：可以将三倍角先转化成二倍角和单角，再将二倍角转化成单角，这样问题就可以解决了．

师：思路是对的，能否具体说一下？

生：sin3θ=sin（2θ+θ）

=sin2θ·cosθ+cos2θ·sinθ

=2sinθ·cosθ·cosθ+（1-2sin2θ）·sinθ．

（停顿．问他为什么用cos2θ=1-2sin2θ，而不用另外两种形式．）

（续上）=2sinθ·cos2θ+sinθ-2sin3θ

=2sinθ（1-sin2θ）+sinθ-2sin3θ

=3sinθ-4sin3θ．

所以sin3θ=3sinθ-4sin3θ．

师：推导得非常漂亮，每一步变形均很清楚，格式很标准．下面请一位同学上黑板推导三倍角的余弦公式．

生：cos3θ=cos（2θ+θ）

=cos2θ·cosθ-sin2θ·sinθ

=（2cos2θ-1）cosθ-2sin2θ·cosθ

=2cos3θ-cosθ-2（1-cos2θ）·cosθ

=4cos3θ-3cosθ．

所以cos3θ=4cos3θ-3cosθ．

师：推导正确．上面我们是由和角公式与二倍角公式结合使用，推出结论，哪位同学还有其它方法？

生：老师，我只用了和角公式就直接推出来了，以三倍角正弦为例．

sin（α+β+γ）

=sin[（α+β）+γ]

=sin（α+β）·cosγ+cos（α+β）·sinγ

=[sinα·cosβ+cosα·sinβ]·cosγ+[cosα·cosβ-sinα·sinβ]·sinγ

=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ．

当α=β=γ=θ时，即得：

sin3θ=sinθ·cos2θ+sinθ·cos2θ+sinθ·cos2θ-sin3θ

=3sinθ·cos2θ-sin3θ

=3sinθ（1-sin2θ）-sin3θ

=3sinθ-4sin3θ．

用此方法，同样可以推出三倍角余弦公式．

师：刚才我发现有的同学在兴奋地点头，继而又微微摇头，有什么见解？

生：方法2同样是一种推导方法，但与方法1比较，还是麻烦些，所以我认为，求其它倍角公式时，还是把和角公式与倍角公式结合起来用比较简便．

师：说得很有道理．我们要力争对每种方法作深入的探讨，这样将加深对题目本质的理解，加深对每种解法本质的理解．加深对所用概念、公式和相互联系的理解．如果将这些解法相互比较，进行抽象，还会在方法上有所创造，提高解题能力，那就更有价值了．

师：（板书）．用tanθ表示tan3θ．

这个作为思考题，同学们回家推导一下．我们回顾一下所学过的内容．

（在复习两角和与差的三角函数公式的表图上，扩充倍角公式，使学生认清它们之间的内在联系．）

作业：课本P219练习第3，4，5，7题．

补充：不查表，用倍角公式求sin18°的值．

课堂教学设计说明

这份教案写的是倍角公式一堂课的实录，以问答的形式，详细地叙述出来．如果只是为了自己教学，我想，只要记下教学过程即可：

1．复习两角和与差的三角函数公式．

2．引入并推导二倍角公式及其变形．

3．讨论二倍角公式成立的条件．

4．强调灵活理解二倍角的含义．

5．例1、例2是熟悉公式，强调书写格式．

6．例3、例4是强调一题多解，从而上升至类比和化归的思想．

7．小结，作业．

我为什么要采取上面几个环节呢？目前数学教材是从少数公理、定理出发，通过演绎，将知识展开．于是过程1，3，4可省略，直接给出二倍角公式，继而大量练题．教材总是把知识和方法用定论的形式直接呈现在学生面前，新旧知识的衔接点直接给出，学生只要记住公式就行．因此这种做法的优点是直截了当，节约时间；缺点是学生缺乏一个完整的认识过程，把知识或方法不是作为“过程”，而是作为“结果”直接抛给学生，长此以往，越“抛”越多，学生头脑中很难形成一个有效的认识结构．反之，插入环节1，3，4，使学生真正掌握二倍角公式的本质，知其然，还知其所以然，就为今后继续学习三角公式打下良好的基础，也为构造全章三角公式的内在联系图创造了条件，这也是学好这部分知识的关键．

为了调动学生的积极性，发挥学生的主体作用，从一上课开始，到推导公式，几道例题始终把解决问题的机会留给学生．在每一部分又分别强调学法指导，一题多解，善于联想，举一反三，善于总结，整个教学过程又是在教师的指导下进行的，使得教师的主导作用和学生的主体作用十分融洽．学生不会因为感到枯燥而厌学，反而会全身心地投入到课堂上，我们的教学目的也就达到了．

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