两角和与差的三角函数，解斜三角形·两角和与差的正弦及正切

了cos75°的值．注意到函数的增减性，则sin15°，sin30°，sin45°，

师：刚才我们复习了Cα±β两个公式及由它们推出的十六个诱导公式，同学们自然会想：用α与β的三角函数去表示sin（α+β）与sin（α-β）应是怎样的呢？下面我们就来研究一下这个问题．

我们能不能继续扩大战果，利用Cα±β这个公式解决公式Sα±β的推导问题？因此要考虑

sin（α+β）=cos（？）

师：我们的目标是用α与β的三角函数表示sin（α+β）．因此在

（接下来，很自然地会得出下面推导过程．）

＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ．

师：这公式对于怎样的α及β成立？

生：对于任意α，β∈R公式都成立．

师：请同学们推导公式Sα-β．

生：只要把公式Sα+β中的β换成-β则有

sin（α-β）=sinα·cos（-β）＋cosα·sin（-β）

=sinα·cosβ-cosα·sinβ．

师：请同学们总结公式中三角函数名称上与符号上的特征，然后牢记这两个公式．

每个同学可根据各自的记忆习惯采取不同的记忆方法．下面是一种记忆方法，供参考．

sin（α±β）→“赛抠”±“抠赛”，

cos（α±β）→“抠抠” “赛赛”．

这好像是英文单词缩写，只写字头，但汉字化了．

师：我们知道了怎样用α与β的弦函数表示α±β的弦函数，下面应再考虑什么公式呢？

生：用α与β的切函数表示α±β的切函数．

（在教师的指导下，学生不难得出下面的推导过程．）

tanα＋β）（怎样用弦函数表示切函数？）

师：我们把这一公式简记为Tα＋β，那么怎样推导公式Tα-β呢？

生：把公式Tα＋β中的β换成-β则可得公式Tα-β．

师：回答的很好．再请大家考虑，这两个公式是不是对于任意的α与β都成立呢？由公式推导过程一步步地看．首先，在什么条件下才可

师：这时分母会不会是零呢？

生：在刚才的条件下已保证了cos（α＋β）≠0，这一步的推导不需再有其它条件限制．

（k∈Z）．

师：这样，我们得到的公式是

师：还用不用附加上一个条件：tanα·tanβ≠1呢？

（学生可能考虑不清，有的学生可能说应当附加上这个条件．）

师：不必附加tanα·tanβ≠1这一条件．因为在tan（α＋β）存在时一定是cos（α＋β）≠0，即cosαcosβ-sinαsinβ≠0时，

因此，不必附加条件tanαtanβ≠1．

同样地，我们可以知道公式

师：请同学们判断下面哪些式子可以利用两角和或差的正切公式，哪些式子不能用．

tan（75°+15°），tan（90°-15°），tan（0°＋0°）．

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