两角和与差的三角函数，解斜三角形·两角和与差的正弦及正切

生：……（略）

师：tan（75°＋15°）不能，因为它无意义；tan（90°-15°）不能针对90°与15°用两角差的正切公式，但可将其改写为tan（90°-15°）＝tan（45°＋30°）再用两角和的正切公式，也可用诱导公式得tan（90°-15°）=cot15°；tan（0°+0°）可以用两角和的正切公式．

师：下面通过几个例题看一下公式的应用．

例1  不查表，求tan15°，tan75°，cot15°，cot75°的值．

（过程略．15°与75°的三角函数值要作为特殊角三角函数值记住．）

例2

解

例3  不查表，求下列各式的值：

（1）sin13°cos17°＋cos13°sin17°；

（2）sin70°cos25°-sin20°sin25°．

解  （1）sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin（13°＋

（2）sIn70°cos25°-sin20°sin25°=cos20°cos25°-sin20°sin25°

例4

（过程略．）

例5  不查表，求下列各式的值：

解  （1）（过程略．）

师：在三角函数的有关习题中，1有时有巧妙的应用，如1=tan45°，1=cot45°，1=sin2α＋cos2α，1＝tanα·cotα，1＝sinα·cscα，1＝sec2α-tan2α等，要引起同学们的注意．

例6  不查表求tan22°＋tan23°＋tan22°·tan23°的值．

师：公式

可灵活运用，灵活运用有怎样的形式呢？

生：从左往右正着用，或从右往左倒着用．

师：还有别的应用方式吗？如变形后再用．

生：tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·（1-tanαtanβ）．因此可得如下解法．

解

tan22°＋tan23°＋tan22°·tan23°

＝tan（22°＋23°）（1-tan22°tan23°）＋tan22°tan23°

=tan45°（1-tan22°tan23°）＋tan22°tan23°）

=1-tan22°tan23°+tan22°tan23°

=1．

师：今天我们学习了公式Sα±β，Tα±β．要求大家不但要记住这几个公式还要知道它们是怎么推导出来的．对于公式Tα±β要注意公式成立的条件，公式成立的条件不要死记硬背，其成立的条件是自然而然地产生于公式的推导过程之中的．

例7  在△ABC中，若0＜tanA·tanB＜1，则△ABC

                                                                                                 [    ]

A．是钝角三角形

B．是锐角三角形

C．是直角三角形

D．形状不能确定

解  △ABC中若有tanA·tanB＞0，则可知tanA与tanB均为正不会均为负，否则A与B就都是钝角了．因此，A与B均为锐角．又由

因此C为钝角．

所以，△ABC是C为钝角的钝角三角形，故选A．

师：下面我们布置作业．

先复习一下今天这几个公式，注意公式的推导过程及公式Tα±β成立的条件．

笔答作业；课本P210第2，3，4题；P213习题十五第1，4，6题．

课堂教学设计说明

本节中公式Sα±β与Tα±β的推导是比较容易的，得到公式以后要求学生记住，并通过一定数量的练习之后，达到能灵活或较灵活地应用也不是很困难的．困难的是使学生能自觉地注意公式Tα±β成立的条件，且在解题过程中不出错．

不只这两个公式，在其它公式中也存在着要注意公式成立条件的问题．不少情况下都是公式中表示变量的字母取任意值时公式都成立，因此，公式成立的条件这一问题往往并未引起多数人的重视．

为了能引起学生对这一问题的重视，我们不妨强调，在写公式Tα±β时要把公式成立的条件一并写出，且把成立的条件作为公式的组成部分，而不是独立于公式之外的东西．这样，经过多次的强调和反复，学生才能较自觉地注意这一问题．本节授课时我们就是这样做的．

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